Ślad (algebra liniowa)

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Przejdź do nawigacji Przejdź do wyszukiwania

Ślad macierzy – suma elementów na głównej przekątnej macierzy kwadratowej.

Definicja formalna[edytuj | edytuj kod]

Niech będzie macierzą kwadratową stopnia Śladem macierzy nazywamy wielkość

Stosuje się również oznaczenia oraz Macierz, której ślad jest równy zeru nazywa się czasami macierzą bezśladową.

Własności[edytuj | edytuj kod]

  • Ślad jest operatorem liniowym. Niech oraz wówczas:
    • addytywność operacji liczenia śladu,
    • jednorodność operacji liczenia śladu.
  • Przekątna główna macierzy nie ulega zmianie przy transpozycji, stąd
  • Jeśli to
  • Jeśli to
(wszystkie przesunięcia cykliczne), niekoniecznie jednak

Przekształcenia liniowe[edytuj | edytuj kod]

Ślad macierzy podobnych jest identyczny, ponieważ dla dowolnej macierzy odwracalnej zachodzi

Niech będzie przekształceniem liniowym określonym na przestrzeni Powyższa obserwacja pozwala na zdefiniowanie śladu endomorfizmu przestrzeni liniowych jako śladu jego macierzy w dowolnej bazie.

Ślad endomorfizmu można też opisać jawnie: jeżeli jest wymiarową przestrzenią wektorową, a n-liniową niezerową formą alternującą, to odwzorowaniu można przyporządkować formę n-liniową:

Forma ta jest równa a stałą proporcjonalności można nazwać Da się pokazać, że taka zdefiniowany ślad jest równy śladowi macierzy endomorfizmu w dowolnej bazie.

Niech będą wartościami własnymi macierzy Ponieważ można przekształcić przez podobieństwo (poprzez zmianę bazy) do macierzy w postaci Jordana, której wartości własne znajdują się na głównej przekątnej, to zachodzi

Bezpośrednią konsekwencją powyższego jest równość

Operatory śladowe[edytuj | edytuj kod]

Można podać ogólniejszą definicję, dotyczącą nie tylko macierzy, ale również operatorów przestrzeni Hilberta.

Niech będzie przestrzenią Hilberta, jej bazą ortonormalną oraz niech

gdzie oznacza zbiór wszystkich operatorów Hilberta-Schmidta przestrzeni tj. takich operatorów liniowych i ciągłych że

Funkcja dana wzorem

nazywana jest śladem.

Operatory należące do nazywane operatorami śladowymi.

Powyższa definicja jest poprawna i nie zależy od wyboru bazy ortonormalnej przestrzeni W przypadku, gdy jest przestrzenią skończeniewymiarową, to każdy jej operator reprezentowany jest przez pewną macierz. Wówczas wartość operatora śladowego na dowolnym jej operatorze pokrywa się z wartością śladu macierzy tego operatora.

Pojęcie śladu wprowadza się także dla szerokiej klasy algebr Banacha, na przykład w kontekście nieprzemiennych przestrzeni na algebrach von Neumanna.

Bibliografia[edytuj | edytuj kod]

  • F.W. Gehring, P.R. Halmos, C.C Moore: A Course in Functional Analysis. Nowy Jork: Springer-Verlag, 1985.