Średnią potęgową rzędu k (lub średnią uogólnioną )
n
{\displaystyle n}
a
1
,
a
2
,
…
,
a
n
∈
R
≥
0
{\displaystyle a_{1},a_{2},\dots ,a_{n}\in \mathbb {R} _{\geq 0}}
μ
k
=
a
1
k
+
a
2
k
+
⋯
+
a
n
k
n
k
{\displaystyle \mu _{k}={\sqrt[{k}]{\frac {a_{1}^{k}+a_{2}^{k}+\dots +a_{n}^{k}}{n}}}}
Istnieje również wariant nazywany ważoną średnią potęgową .
Powyższą definicję uzupełniamy dla
k
=
−
∞
,
{\displaystyle k=-\infty ,}
k
=
0
{\displaystyle k=0}
k
=
+
∞
{\displaystyle k=+\infty }
μ
−
∞
=
min
(
a
1
,
a
2
,
…
,
a
n
)
,
{\displaystyle \mu _{-\infty }=\min(a_{1},a_{2},\dots ,a_{n}),}
μ
0
=
a
1
⋅
a
2
⋅
…
⋅
a
n
n
,
{\displaystyle \mu _{0}={\sqrt[{n}]{a_{1}\cdot a_{2}\cdot \ldots \cdot a_{n}}},}
μ
+
∞
=
max
(
a
1
,
a
2
,
…
,
a
n
)
.
{\displaystyle \mu _{+\infty }=\max(a_{1},a_{2},\dots ,a_{n}).}
Dla przykładu, średnią potęgową rzędu 3 liczb 1, 2, 3, 4, 5 jest:
1
3
+
2
3
+
3
3
+
4
3
+
5
3
5
3
=
225
5
3
=
45
3
≈
3
,
56
{\displaystyle {\sqrt[{3}]{\frac {1^{3}+2^{3}+3^{3}+4^{3}+5^{3}}{5}}}={\sqrt[{3}]{\frac {225}{5}}}={\sqrt[{3}]{45}}\approx 3{,}56}
Co warte podkreślenia, dla dowolnych dodatnich
a
1
,
a
2
,
…
,
a
n
{\displaystyle a_{1},a_{2},\dots ,a_{n}}
μ
k
{\displaystyle \mu _{k}}
k
{\displaystyle k}
R
∪
{
−
∞
,
+
∞
}
,
{\displaystyle \mathbb {R} \cup \{-\infty ,+\infty \},}
i
{\displaystyle i}
j
,
{\displaystyle j,}
a
i
≠
a
j
,
{\displaystyle a_{i}\neq a_{j},}
nierówności między średnimi potęgowymi ).
Średnie potęgowe niektórych rzędów mają własne nazwy:
Średnie Średnie
Zastosowanie średnich
![{\displaystyle \mu _{k}={\sqrt[{k}]{\frac {a_{1}^{k}+a_{2}^{k}+\dots +a_{n}^{k}}{n}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b412e34873e0bc8b075dad164f3f3a8405638717)
![{\displaystyle \mu _{0}={\sqrt[{n}]{a_{1}\cdot a_{2}\cdot \ldots \cdot a_{n}}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d37c6f8490c9e7ccf07689014825a95d9d339946)
![{\displaystyle {\sqrt[{3}]{\frac {1^{3}+2^{3}+3^{3}+4^{3}+5^{3}}{5}}}={\sqrt[{3}]{\frac {225}{5}}}={\sqrt[{3}]{45}}\approx 3{,}56}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6649fdb8b63904bae1510c74aba4cb762313eb43)
