Algebra zewnętrzna

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Przejdź do nawigacji Przejdź do wyszukiwania
Orientacja zdefiniowana przez uporządkowany zbiór wektorów.
Odwrotna orientacja odpowiadająca ujemnemu iloczynowi zewnętrznemu.
Interpretacja geometryczna iloczynu zewnętrznego elementów: Geometryczna interpretacja elementów stopnia n algebry zewnętrznej dla n=0 (pojedynczy punkt), 1 (zorientowany odcinek prostej), 2 (zorientowany element powierzchni), 3 (zorientowany element objętości). Iloczyn zewnętrzny n wektorów można zobrazować jako dowolny n-wymiarowy obiekt (e.g. n-równoległościan, n-elipsoida); wielkość n-wymiarowych obiektów jest równa wielkości ograniczonej ich brzegiem (np. długość odcinka, pole elementu powierzchni, objętość równoległościanu, hiperobjętość n-równoległościanu), a jej znak zależy od tego, czy jego orientacja jest zgodna czy przeciwna do przyjętej w przestrzeni orientacji.

Iloczyn zewnętrzny – konstrukcja algebraiczna używana w geometrii do badania powierzchni, objętości i ich analogów w wyższych wymiarach. Iloczyn zewnętrzny dwóch wektorów oraz oznacza się symbolem i nazywa się biwektorem; biwektor leży w przestrzeni zwanej zewnętrznym kwadratem, która jest przestrzenią inną niż oryginalna przestrzeń wektorowa. Wartość iloczynu jest równa powierzchni równoległoboku o bokach oraz W trzech wymiarach można ją obliczyć jako wartość iloczynu wektorowego wektorów oraz

Podobnie jak iloczyn wektorowy, iloczyn zewnętrzny jest antyprzemienny, tj. W odróżnieniu jednak od iloczynu wektorowego iloczyn zewnętrzny jest łączny, tj.

Biwektor można wyobrazić sobie jako rodzinę równoległoboków leżących w tej samej płaszczyźnie, mających tę samą powierzchnię i tę samą orientację – zgodną lub przeciwną do ruchu wskazówek zegara.

Z definicji wynika, że np.

jeżeli wektory są równoległe.

Przykład[edytuj | edytuj kod]

Pole elementu na płaszczyźnie[edytuj | edytuj kod]

(1) Płaszczyzna jest przestrzenią wektorową 2-wymiarową, której bazę stanowi para wektorów

Niech dane będą dwa wektory

które wyznaczają równoległobok, mający oraz jako boki. Powierzchnia tego równoległoboku dana jest wyrażeniem

(2) Obliczmy teraz iloczyn zewnętrzny wektorów oraz

– w pierwszym kroku wykorzystane zostało prawo rozdzielności iloczynu zewnętrznego, a ostatni etap używa faktu, że (Wynika stąd np. że ). Współczynnik w ostatnim wyrażeniu jest równy wyznacznikowi macierzy Fakt, że może być on dodatni lub ujemny oznacza, że zależy on od kolejności mnożonych wektorów oraz która to kolejność może wyznaczać obrót zgodny ze wskazówkami zegara lub przeciwny. Taka powierzchnia nazywa się powierzchnią zorientowaną: wartość iloczynu jest równa wielkości powierzchni, zaś znak określa orientację.

Jeżeli jest powierzchnią zorientowaną, rozpiętą przez wektory oraz to ma następujące właściwości:

  1. dla dowolnych liczb rzeczywistych oraz ponieważ przeskalowując boki zmieniamy wielkość równoległoboku, jak również orientację – gdy mnożymy wektor przez liczbę ujemną.
  2. ponieważ powierzchnia zdegenerowanego równoległoboku jest równa 0.
  3. ponieważ zmiana kolejności wektorów ma zmieniać znak.
  4. dla dowolnych ponieważ dodanie wielokrotności wektora do nie zmienia ani podstawy, ani wysokości równoległoboku – w efekcie zachowuje powierzchnię.
  5. ponieważ wielkość jednostkowego kwadratu jest równa 1.

W pewnym sensie iloczyn zewnętrzny uogólnia pojęcie powierzchni, gdyż pozwala porównywać powierzchnie dowolnych elementów w przestrzeni np. z powierzchnią jednostkowego kwadratu. Innymi słowy:

Iloczyn zewnętrzny daje niezależne od układu współrzędnych pojęcie pola powierzchni oraz metodę jej obliczania.

Iloczyn zewnętrzny[edytuj | edytuj kod]

Iloczyn zewnętrzny jest działaniem służącym do tworzenia wielowektorów. Działanie to jest

  • liniowe:
  • łączne:
  • alternujące:

gdzie oraz są wektorami w zaś to skalary.

Iloczyn wektorów jest nazywany wielowektorem stopnia p lub p-wektorem. Maksymalny stopień wielowektorów jest równy wymiarowi przestrzeni wektorowej

Liniowość iloczynu zewnętrznego pozwala definiować wielowektory jako kombinacje liniowe wielowektorów bazowych. Jest p-wektorów -wymiarowej przestrzeni wektorowej[1]

Wielowektor[edytuj | edytuj kod]

Wielowektor (zwany liczbą Clifforda) jest podstawowym elementem algebry zewnętrznej. Jeżeli jest przestrzenią n-wymiarową, to k-wektorem nazywa się obiekt o postaci

gdzie są wektorami w przestrzeni

Zobacz też[edytuj | edytuj kod]

Przypisy[edytuj | edytuj kod]

  1. H. Flanders, Differential Forms with Applications to the Physical Sciences, Academic Press, New York, NY, 1963.

Bibliografia[edytuj | edytuj kod]

  • W. Kołodziej, Analiza matematyczna, PWN, Warszawa 2009.
  • R. Penrose, Droga do rzeczywistości, Prószyński i S-ka, Warszawa 2010.