Całki eliptyczne

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Przejdź do nawigacji Przejdź do wyszukiwania

Całki eliptyczne – to ważna klasa całek postaci

(1)

gdzie jest funkcją wymierną zmiennych i a jest wielomianem o współczynnikach rzeczywistych stopnia 3 lub 4.

Nazwa całek eliptycznych[edytuj | edytuj kod]

Z całkami eliptycznymi po raz pierwszy zetknięto się podczas obliczania obwodu elipsy, stąd też wzięły swoją nazwę. Nazwa ich nie jest jednak jednoznaczna, ponieważ w ścisłym znaczeniu dotyczy tylko tych całek postaci (1), które nie dają się wyrazić za pomocą funkcji elementarnych. Te z nich, które sprowadzają się do postaci skończonej, nazywa się całkami pseudoeliptycznymi.

Rodzaje całek eliptycznych[edytuj | edytuj kod]

Choć całki postaci (1) nie wyrażają się zwykle przez funkcje elementarne, to każdą z nich można za pomocą podstawień doprowadzić do jednej z następujących trzech całek

  • h – parametr zespolony.

Całek tych, jak pokazał Liouville, nie da już wyrazić się za pomocą funkcji elementarnych.

Legendre zastosował podstawienie dzięki czemu całki te uprościły swoją postać do całek, które nazywamy odpowiednio całką eliptyczną pierwszego, drugiego i trzeciego rodzaju w postaci Legendre’a, tj.

  • całka eliptyczna 1. rodzaju,
  • całka eliptyczna 2. rodzaju,
  • całka eliptyczna 3. rodzaju.

Szczególnie ważne i często używane są pierwsze dwie z nich.

Całki eliptyczne oznaczone[edytuj | edytuj kod]

Całki eliptyczne niezupełne[edytuj | edytuj kod]

Powyższe całki eliptyczne 1. i 2. rodzaju traktowane jako całki oznaczone w granicach od 0 do oznacza się za Legendre’em odpowiednio

  • – eliptyczna całka oznaczona 1. rodzaju,
  • – eliptyczna całka oznaczona 2. rodzaju.

Parametr występujący w funkcjach oraz nazywamy modułem.

Całki eliptyczne zupełne[edytuj | edytuj kod]

Całki eliptyczne oraz nazywamy całkami eliptycznymi niezupełnymi dla odróżnienia od całek eliptycznych zupełnych, które oblicza się w zakresie od 0 do

Wartości całek eliptycznych zupełnych oraz są stabelaryzowane i można je znaleźć w tablicach matematycznych.

Obliczanie obwodu elipsy[edytuj | edytuj kod]

Dokładną wartość obwodu elipsy wyznacza całka eliptyczna zupełna drugiego rodzaju, wzorem[1]

gdzie mimośród elipsy.

Np. dla oraz mimośród wynosi co daje w przybliżeniu obwód elipsy równy

Całki eliptyczne jako podklasa całek Abela[edytuj | edytuj kod]

Całki tego rodzaju, w których za zmienną podstawia się dowolną funkcję algebraiczną zmiennej taką że

gdzie jest wielomianem względem zmiennych i nazywa się czasem całkami Abela. Całki eliptyczne są więc podklasą całek Abela.

Funkcje odwrotne do całek eliptycznych[edytuj | edytuj kod]

Funkcjami odwrotnymi do całek eliptycznych są funkcje eliptyczne. Na przykład funkcja eliptyczna Weierstrassa zmiennej zespolonej o parametrach jest funkcją odwrotną do funkcji wyrażonej przez całkę

tzn.

o ile

Funkcjami odwrotnymi do całek eliptycznych są funkcje amplitudy.

Przypisy[edytuj | edytuj kod]

  1. I.N. Bronsztejn, K.A. Siemiendiajew: Matematyka – poradnik encyklopedyczny. Wyd. 2. Warszawa: PWN, 1968, s. 269.

Bibliografia[edytuj | edytuj kod]

  • I.N. Bronsztejn, K.A. Siemiendiajew, Poradnik encyklopedyczny. Matematyka, PWN, Warszawa 1959, s. 92–93 (Tablice całek), s. 409–410 definicje całek.