Eksponenta macierzy

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Przejdź do nawigacji Przejdź do wyszukiwania

Eksponenta macierzy – funkcja macierzowa zdefiniowana dla macierzy kwadratowych analogicznie jak klasyczna funkcja wykładnicza. Eksponentą macierzy rzeczywistej lub zespolonej wymiaru jest macierz wymiaru oznaczana jako albo zadana przez szereg potęgowy:

przy czym przyjmuje się:

  • w szczególności

gdzie – macierz jednostkowa – macierz zerowa

Twierdzenia I[edytuj | edytuj kod]

Oznaczenia:

  • – dowolne macierze zespolone
  • – dowolne liczby zespolone

Twierdzenia:

(1)
(2)
gdzie – macierz transponowana macierzy
(3)
gdzie – macierz hermitowsko sprzężona do macierzy
(4) Jeżeli macierz jest odwracalna, to
(5) Jeżeli macierze i komutują (tzn. ich mnożenie jest przemienne, ), to

Z tw. (5) wynika, że:

(6)
(7)

Twierdzenia II[edytuj | edytuj kod]

(8) Jeżeli jest macierzą symetryczną, to jest macierzą symetryczną.
(9) Jeżeli jest macierzą antysymetryczną, to jest macierzą ortogonalną.
(10) Jeżeli jest macierzą hermitowską, to jest macierzą hermitowską.
(11) Jeżeli jest macierzą antyhermitowską, to jest macierzą unitarną.

Obliczanie eksponenty macierzy[edytuj | edytuj kod]

Macierz diagonalna[edytuj | edytuj kod]

Jeżeli macierz jest diagonalna

to

Macierzy diagonalizowalna[edytuj | edytuj kod]

Jeżeli macierz można zdiagonalizować do postaci

gdzie – macierz diagonalna, to z tw. (4) wynika, że

Zobacz też[edytuj | edytuj kod]