Funkcja jednostajnie ciągła

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Przejdź do nawigacji Przejdź do wyszukiwania

Jednostajna ciągłość – własność pewnej klasy funkcji, określonych między przestrzeniami metrycznymi. Jednostajna ciągłość funkcji pociąga ciągłość, ale na ogół nie odwrotnie.

Definicja[edytuj | edytuj kod]

Niech będzie przedziałem liczb rzeczywistych oraz niech Funkcja nazywana jest jednostajnie ciągłą, gdy dla każdego istnieje takie że dla wszelkich zachodzi nierówność o ile tylko

Definicję tę można mutatis mutandis uogólnić na funkcje określone na przestrzeniach metrycznych. Niech i będą przestrzeniami metrycznymi oraz niech Funkcja nazywana jest jednostajnie ciągłą, gdy dla każdego istnieje takie że dla wszelkich zachodzi nierówność o ile tylko

Własności funkcji jednostajnie ciągłych[edytuj | edytuj kod]

1. Każda funkcja jednostajnie ciągła jest ciągła.

Dowód. Jeśli jest odwzorowaniem między dwiema przestrzeniami metrycznymi i to ciągłość oznacza, że dla każdego punktu i każdego takie istnieje (indeks dolny przy oznacza, że liczba ta zależy od i ) taka, że obraz kuli o środku i promieniu zawiera się w kuli o środku i promieniu Jednostajna ciągłość oznacza, że dla każdego istnieje takie że obraz dowolnej kuli o promieniu zawiera się w kuli o promieniu Jednostajna ciągłość to zatem warunek silniejszy niż ciągłość.

2. Jeśli jest ciągiem Cauchy’ego elementów przestrzeni oraz jest jednostajnie ciągła, to ciąg jest ciągiem Cauchy’ego w przestrzeni

Dowód. Niech Na mocy jednostajnej ciągłości istnieje taka liczba że dla dowolnych spełniających warunek zachodzi oszacowanie Skoro jest ciągiem Cauchy’ego, to istnieje taka liczba naturalna że dla zachodzi a zatem dla Dowodzi to, że ciąg jest ciągiem Cauchy’ego w przestrzeni
Twierdzenie to jest kryterium pozwalającym sprawdzić czy dana funkcja nie jest jednostajnie ciągła. Rozważmy następujący przykład.
Niech będzie funkcją daną wzorem Wówczas ciąg jest ciągiem Cauchy’ego, jednak czyli ciąg nie jest ciągiem Cauchy’ego w Wobec powyższego, nie jest jednostajnie ciągła.

3. Niech będzie całkowicie ograniczoną przestrzenią metryczną (np. jest ograniczonym przedziałem liczb rzeczywistych). Wówczas każda funkcja jednostajnie ciągła jest ograniczona.

Dowód. Dla niech będzie takie, iż dla dowolnych spełniających warunek zachodzi oszacowanie Niech będzie ciągiem kul otwartych o promieniu których suma jest równa Niech będzie środkiem Niech
Ustalmy Wówczas dla pewnego Ostatecznie
co dowodzi ograniczoności

4. Każda funkcja spełniająca warunek Lipschitza jest jednostajnie ciągła.

Dowód. Niech będzie funkcją spełniającą warunek Lipschitza ze stałą Niech oraz niech dany będzie Gdy to o ile tylko

5. Każda funkcja ciągła na przestrzeni zwartej jest jednostajnie ciągła (twierdzenie Heinego-Cantora).

6. W szczególności, każda funkcja określona i ciągła na przedziale domkniętym [] jest jednostajnie ciągła. Na przedziale otwartym już tak nie musi być, na przykład funkcja na przedziale (0, 1) jest ciągła, ale nie jest jednostajnie ciągła. Jeśli jednak granice funkcji na otwartych końcach przedziału istnieją, to na takim przedziale funkcja również będzie jednostajnie ciągła.

Uogólnienie na przestrzenie liniowo-topologiczne[edytuj | edytuj kod]

Niech będą przestrzeniami liniowo-topologicznymi. Mówimy, że odzworowanie jest jednostajnie ciągłe, jeśli dla każdego otoczenia zera przestrzeni istnieje otoczenie zera przestrzeni takie, że dla każdych

Zobacz też[edytuj | edytuj kod]

Bibliografia[edytuj | edytuj kod]

  • J.B. Conway, Functions of One Complex Variable I (Graduate Texts in Mathematics 11). Springer-Verlag. ​ISBN 0-387-90328-3​, s. 25–28.
  • S.C. Malik, Principles of Real Analysis, New Age International, 1982, s. 127–129.