Grupa okręgu

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Przejdź do nawigacji Przejdź do wyszukiwania

Grupa okręgupodgrupa grupy multiplikatywnej ciała liczb zespolonych złożona ze wszystkich liczb o module równym 1;

W grupie jako podgrupie grupy multiplikatywnej ciała \mathbb{C}, działaniem jest zwykłe mnożenie liczb zespolonych a elementem neutralnym jest Grupa okręgu w naturalny sposób daje się utożsamić z grupą obrotów płaszczyzny wokół ustalonego punktu, zwykle początku, z działaniem ich składania. Grupa ta pełni istotną rolę w teorii grup Liego.

Traktując płaszczyznę jako rzeczywistą przestrzeń liniową bądź jako przestrzeń unitarną (euklidesową) grupę okręgu można utożsamiać z grupą przekształceń liniowych, lub odpowiedno, przekształceń unitarnych o wyznaczniku 1 (z działaniem ich składania).

Przestrzeń produktowa dwóch kopii grupy okręgu jest homeomorficzna z torusem (2-torusem ), a zatem okrąg może być interpretowany jako 1-torus, skąd pochodzi oznaczenie

Własności[edytuj | edytuj kod]

Ilustracja działania w grupie okręgu, które odpowiada dodawaniu miar kątów środkowych (mających wspólne ramię) zgodnie z arytmetyką modularną o module
Dowód. Odwzorowanie dane wzorem jest ciągłym, suriektywnym homomorfizmem grup, którego jądrem jest \mathbb{Z}. Podgrupa \mathbb{Z} grupy \mathbb{R} jest domknięta, a zatem z pierwszego twierdzenia o izomorfizmie dla grup topologicznych, odwzorowanie dane wzorem gdzie jest homeomorficznym izomorfizmem grup.
przekształcenie to jest przykładem (pod)grupy jednoparametrowej.

Dualność Pontriagina pomiędzy grupą okręgu a grupą liczb całkowitych[edytuj | edytuj kod]

Grupa okręgu jest zwarta, więc grupa dualna do złożona z ciągłych homomorfizmów do jest dyskretna. Co więcej

a zatem z dualności Pontriagina także

Powyższe twierdzenie jest jednym z podstawowych faktów w analizie harmonicznej. Można je udowodnić w oparciu o twierdzenie orzekające, że każdy ciągły homomorfizm jest postaci

dla pewnej liczby rzeczywistej Wynika stąd, że każdy ciągły homomorfizm jest postaci dla pewnego W szczególności, grupa dualna do jest izomorficzna z

Dowód. Ponieważ istnieje izomorfizm grup topologicznych wystarczy zatem rozważać ciągłe homomorfizmy z do

Niech będzie ciągłym homomorfizmem oraz niech będzie jego podniesieniem do tj. Wówczas dla pewnego W szczególności, gdy to skąd musi być liczbą całkowitą, co kończy dowód.

Bibliografia[edytuj | edytuj kod]