Swoją karierę piłkarską Szőke rozpoczynał w klubie Ferencvárosi TC. W sezonie 1965 zadebiutował w nim w pierwszej lidze. W latach 1967 i 1968 wywalczył z nim mistrzostwo Węgier. Z kolei w latach 1965, 1966, 1970, 1971, 1973 i 1974 był z Ferencvárosi wicemistrzem kraju. W 1968 roku awansował z Ferencvárosi do finału Puchaur Miast Targowych i wystąpił w finałowym dwumeczu z Leeds United (0:1, 0:0).
W 1975 roku Szőke odszedł z Ferencvárosi do klubu Volán SC. Grał w nim przez sezon i w 1976 roku zakończył swoją karierę.