Karierę piłkarską Akgün rozpoczął w klubie Fenerbahçe SK ze Stambułu. Grał w nim w rozgrywkach Istanbul Lig, a od 1959 roku w lidze tureckiej. Wraz z Fenerbahçe trzykrotnie wygrywał Ligę Stambułu w latach 1953, 1957 i 1959. Zdobył też Başbakanlık Kupası w 1950 roku. W 1959 i 1961 roku został z Fenerbahçe mistrzem Turcji.
W 1961 roku Akgün odszedł do Karagümrüksporu. Rok później zakończył karierę piłkarską.
W reprezentacji Turcji Akgün zadebiutował 5 czerwca 1963 roku w zremisowanym 2:2 towarzyskim meczu z Jugosławią i był to jego jedyny mecz w kadrze narodowej. W 1954 roku został powołany do kadry na mistrzostwa świata w Szwajcarii. Tam był rezerwowym i nie rozegrał żadnego spotkania.