Klasyczny oscylator harmoniczny

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Przejdź do nawigacji Przejdź do wyszukiwania

Klasyczny oscylator harmoniczny – realizacja modelu oscylatora harmonicznego w ramach mechaniki klasycznej.

Klasyczny oscylator harmoniczny określa się jako układ w potencjale kwadratowym

bądź równoważnie jako układ, w którym działa liniowa siła proporcjonalna do wychylenia z przeciwnym zwrotem

Jednowymiarowe oscylatory harmoniczne[edytuj | edytuj kod]

Definicja oscylatora harmonicznego[edytuj | edytuj kod]

Jednowymiarowym oscylatorem harmonicznym jest każdy układ fizyczny, którego zachowanie można opisać równaniem zwanym równaniem oscylatora harmonicznego

gdzie:

przyspieszenie zależne od czasu,
– położenie zależne od czasu,
– częstość kołowa drgań oscylatora.

Związek ten można zapisać jawnie jako liniowe równanie różniczkowe

lub korzystając z konwencji stosowanej w mechanice, gdzie pochodną po czasie oznacza się kropką

Model opisywany powyższym równaniem nazywa się też czasem prostym oscylatorem harmonicznym. Każdy układ, którego równanie można sprowadzić do powyższego, określa się w skrócie jako oscylator harmoniczny.

Rozwiązanie równania oscylatora[edytuj | edytuj kod]

Rozwiązanie równania oscylatora harmonicznego można zapisać w jednej z poniższych równoważnych postaci

gdzie to stałe zależne od warunków początkowych.

Rozwiązania są równoznaczne, a korzystając z tożsamości trygonometrycznych można znaleźć zależności pomiędzy powyższymi stałymi i rozwiązanie przedstawiać w dowolnej z postaci 1, 2 lub 3.

jest częstością kołową oscylatora harmonicznego. Okres drgań wynosi

natomiast częstotliwość drgań wynosi

Lagranżjan oscylatora[edytuj | edytuj kod]

Lagranżjan oscylatora harmonicznego ma postać

gdzie:

– prędkość uogólniona,
– położenie uogólnione.

Reszta oznaczeń bez zmian.

Hamiltonian oscylatora harmonicznego[edytuj | edytuj kod]

Hamiltonian oscylatora harmonicznego ma postać

gdzie:

– pęd uogólniony,
– położenie uogólnione.

Przykłady oscylatorów[edytuj | edytuj kod]

Wahadło matematyczne[edytuj | edytuj kod]

Równanie ruchu wahadła matematycznego można zapisać w postaci

Dla małych kątów , a równanie przyjmuje postać równania oscylatora harmonicznego

gdzie:

– przyspieszenie kątowe,
– kąt odchylenia z położenia równowagi,
– długość wahadła,
– przyspieszenie ziemskie.

Ciało na sprężynie[edytuj | edytuj kod]

 Osobny artykuł: Masa na sprężynie.
Ciężarek o masie m na sprężynie

Ciało o masie , przymocowane do sprężyny i poruszające się bez tarcia i oporu powietrza po poziomej powierzchni, wykonuje oscylacje harmoniczne, jeżeli amplituda ruchu nie przekracza zakresu sprężystości sprężyny. Wtedy bowiem siła sprężystości jest proporcjonalna do wychylenia

Z II zasady dynamiki Newtona można obliczyć przyspieszenie . Przyjmując, że ruch odbywa się wzdłuż osi , otrzymuje się równanie oscylatora harmonicznego

gdzie:

– wychylenie ciężarka z położenia równowagi,
– przyspieszenie ciężarka,
– masa ciężarka,
– stałą sprężystości sprężyny.

Dla ciężarka o masie wiszącego na sprężynie w stałym polu grawitacyjnym i wykonującym drgania pionowe, częstotliwość kołowa ma taką samą wartość jak poprzednio rozpatrywanego obciążnika, charakter ruchu jest dokładnie taki sam. Jedyne co się zmienia to położenie równowagi.

Oscylator harmoniczny tłumiony[edytuj | edytuj kod]

W rzeczywistości przedstawiony powyżej model jest sytuacją wyidealizowaną, gdyż w układzie fizycznym zazwyczaj występują siły tarcia, oporu lub innego rodzaju tłumienie proporcjonalne do prędkości oscylatora. Powoduje ono wykładniczy zanik amplitudy w czasie. Równanie ruchu oscylatora tłumionego ma postać

Oscylator harmoniczny wymuszony[edytuj | edytuj kod]

Oscylator może być pobudzany zewnętrznymi siłami.

Stała siła nie zmienia drgań oscylatora harmonicznego, zmienia jedynie położenie równowagi oscylatora. Siła wymuszająca o charakterze oscylacyjnym zmienia częstość drgań oscylatora.

gdzie:

– częstość drgań własnych.

Zmienną okresową siłę wymuszającą można przedstawić jako sumę funkcji harmonicznych .

Dlatego analizę równania można ograniczyć do

gdzie:

– częstość siły wymuszającej,
– amplituda przyspieszenia (siły na jednostkę bezwładności) wymuszającego,
– współczynnik tłumienia.

W przypadku, gdy , uzyskuje się równanie oscylatora harmonicznego z tłumieniem, a gdy dodatkowo założy się, że , równanie oscylatora prostego.

Zobacz też[edytuj | edytuj kod]