Konwencje w teoriach relatywistycznych

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Przejdź do nawigacji Przejdź do wyszukiwania

Konwencje w teoriach relatywistycznych – konwencje związane z indeksami występującymi we wzorach, stosowane w teoriach relatywistycznych (szczególnej teorii względności, ogólnej teorii względności, elektrodynamice, relatywistycznej mechanice kwantowej).

Konwencja sumacyjna Einsteina[edytuj | edytuj kod]

Konwencja sumacyjna Einsteina to skrócony zapis, w którym pomija się znak sumowania jeżeli w wyrażeniu po znaku sumy występują jednocześnie symbole z indeksami górnymi i symbole z indeksami dolnymi lub jeden symbol o tych dwóch indeksach, np. – indeksem sumacyjnym (niemym) jest .

Tensor metryczny[edytuj | edytuj kod]

(1) Tensor metryczny danego układu współrzędnych krzywoliniowych:

– składowe kontrawariantne tensora metrycznego
– składowe kowariantne tensora metrycznego

(2) Wyznacznik kowariantnego tensora metrycznego tradycyjnie oznacza się literą tj.

(3) Tensor metryczny kontrawariantny jest zadany macierzą odwrotną do macierzy tensora kowariantnego, tj.

Indeksy greckie[edytuj | edytuj kod]

Indeksy oznaczane literami alfabetu greckiego ( itp.) przebiegają wszystkie możliwe wartości, zależnie od wymiaru przestrzeni, w której rozważa się tensory.

a) W czasoprzestrzeni, która jest przestrzenią 4-wymiarową, indeksy przebiegają 4 wartości; tradycyjnie używa się liczb z zakresu (lub ), np.

  • składowe kowariantne czterowektora położenia, przy czym:
    • - składowa czasowa
    • - składowe przestrzenne
  • – składowe kowariantne czterowektora pędu, przy czym:
    • - składowa czasowa,
    • - składowe przestrzenne

b) Ogólnie, dla przestrzeni -wymiarowych indeksy przyjmują wartości, np. ze zbioru lub

Indeksy łacińskie[edytuj | edytuj kod]

Indeksy oznaczane literami alfabetu łacińskiego, np. przebiegają zbiór wartości

Tensory indeksowane w ten sposób są tensorami zdefiniowanymi nad przestrzenią 3-wymiarową.

Np.

– składowe przestrzenne 3-wektora położenia,
– składowe przestrzenne 3-wektora pędu,
– składowe przestrzenne tensora napięć-energii,

Podnoszenie/opuszczanie wskaźników[edytuj | edytuj kod]

(1) Aby opuścić wskaźnik wektora (ogólnie: tensora) mnoży się współrzędną z górnym wskaźnikiem przez tensor metryczny kowariantny

(2) Aby podnieść wskaźnik wektora (lub ogólnie: tensora) mnoży się współrzędną z dolnym wskaźnikiem przez tensor metryczny kontrawariantny

Pochodna cząstkowa i kowariantna[edytuj | edytuj kod]

W układach krzywoliniowych nieortogonalnych sama pochodna cząstkowa nie ma charakteru tensorowego – dlatego definiuje się tzw. pochodną kowariantną, która ma charakter tensorowy (jest ona równa pochodnej cząstkowej uzupełnionej o dodatkowe składniki, związane z krzywoliniowością układu współrzędnych).

Oznaczenia:

  • w teorii względności:
    • pochodna cząstkowa 1-go rzędu – przecinek:
    • pochodna cząstkowa 2-go rzędu – przecinek:
    • pochodna kowariantna – średnik:
  • w mechanice kwantowej:
    • pochodna cząstkowa – stylizowana delta:
    • pochodna kowariantna – duża litera :
  • w mechanice klasycznej:
    • pochodna cząstkowa – przecinek:
    • pochodna kowariantna – nabla:

Zobacz też[edytuj | edytuj kod]

Bibliografia[edytuj | edytuj kod]

  • P.K. Raszewski: Geometria Riemanna i analiza tensorowa. Warszawa: PWN, 1958.
  • John Lighton Synge: Rachunek tensorowy. Warszawa: Państwowe Wydawnictwo Naukowe, 1964.