Lagranżjan

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Przejdź do nawigacji Przejdź do wyszukiwania

Lagranżjan (inaczej funkcja Lagrange’a) – gęstość funkcjonału działania charakteryzująca właściwości mechaniczne układu fizycznego.

Mechanika klasyczna[edytuj | edytuj kod]

W nierelatywistycznej mechanice klasycznej Lagranżjan zdefiniowany jest wzorem:

gdzie:

– energia kinetyczna,
– uogólniona energia potencjalna.

Lagranżjan ma podstawowe znaczenie w sformułowaniu zasady najmniejszego działania. Mianowicie, ruch układu w mechanice klasycznej opisywany jest za pomocą trajektorii opisującej zależność położenia układu w przestrzeni konfiguracyjnej od czasu. Zgodnie z zasadą najmniejszego działania ruch układu mechanicznego przebiega w taki sposób, że funkcjonał nazywany działaniem, obliczony w przestrzeni wszystkich możliwych funkcji jest stacjonarny, czyli nie zmienia swojej wartości przy nieskończenie małej zmianie (wariacji) toru (np. jest tak w otoczeniu ekstremali funkcjonału). Funkcjonał ten ma postać całki po czasie:

We wzorze tym oznacza lagranżjan, a oznacza pochodną po czasie.

Teoria pola[edytuj | edytuj kod]

W teorii pola Lagranżjan jest całką po współrzędnych przestrzennych z gęstości lagranżjanu (często nazywanej nieściśle lagranżjanem):

gdzie:

  • czterowektor położenia punktu w czasoprzestrzeni,
  • – współrzędna czasowa,
  • – wartość pola w punkcie czasoprzestrzeni
  • kowariantny czterowektor pochodnych cząstkowych pola.

Zobacz też[edytuj | edytuj kod]