Liczby całkowite
Liczby całkowite – liczby naturalne dodatnie oraz liczby przeciwne do nich a także liczba zero. Są uogólnieniem zbioru liczb naturalnych na zbiór, w którym wykonalne jest odejmowanie. Uogólnieniem liczb całkowitych są liczby wymierne.
Zbiór liczb całkowitych oznaczamy w matematyce symbolem (od niem. Zahlen – liczby). W Polsce w większości szkół podstawowych i średnich, w celu ułatwienia skojarzenia z polską nazwą, stosuje się symbol przy czym MEN zaleca używanie oznaczenia [1].
Definicja formalna[edytuj | edytuj kod]
Zbiór liczb całkowitych można zdefiniować jako zbiór klas abstrakcji zbioru relacji równoważności
Intuicyjnie reprezentuje różnicę
Niech oznacza klasę abstrakcji, której reprezentantem jest Wówczas dodawanie i mnożenie w zbiorze definiuje się jako:
![{\displaystyle [(a,b)]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5d4673f87e9f04b411addd9c344dceb4c2915dd1)
![{\displaystyle [(a,b)]+[(c,d)]=[(a+c,b+d)],}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/058c43d66521cefd6334f3211ac6a1773ee734de)
![{\displaystyle [(a,b)]\cdot [(c,d)]=[(ac+bd,ad+bc)].}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/13331cfcefba4254583e5a285f633d268d729383)
Tak zdefiniowana struktura jest pierścieniem całkowitym, tj. pierścieniem przemiennym z jedynką bez dzielników zera.
Zerem tego pierścienia jest elementem przeciwnym do jest element Jedynką jest
![{\displaystyle [(0,0)],}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7633294ee062ff29a5b2a28ba56e3661342ac120)
![{\displaystyle [(b,a)].}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8a816f0a1ca0c5d4a9b64062b1a8228bf785c4c9)
![{\displaystyle [(1,0)].}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/638859650ed1cb59eb29a985f9e690429f55e557)
Podzbiór elementów postaci jest izomorficzny z
![{\displaystyle [(a,0)]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a1c4b77308159b2e6971cc2facdb5efce89ff80e)
Ponieważ oraz elementem przeciwnym do więc
![{\displaystyle [(a,b)]=[(a,0)]+[(0,b)]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d4e687e5d5fc14048449020360e28a69103da15c)
![{\displaystyle [(0,b)]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/713d35f9f6969343c7851ba305f2a171842a707b)
![{\displaystyle [(b,0)],}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d90b9311c32ddbc4924d587623d6a971d95c65ac)
![{\displaystyle [(a,b)]=[(a,0)]-[(b,0)].}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/284ebb3e1587fa9cebb71fd2a93826a7174ecd0d)
Ostatnia zależność potwierdza wyżej wspomnianą intuicję.
Liczby dla których nazywamy liczbami całkowitymi dodatnimi;
liczby dla których nazywamy liczbami całkowitymi ujemnymi.
![{\displaystyle [(a,b)],}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/27f5f12be6056e07c608b64edfe7a3470abf66c6)
Liczność[edytuj | edytuj kod]
Zbiór liczb całkowitych jest równoliczny ze zbiorem liczb naturalnych gdyż istnieje funkcja wzajemnie jednoznaczna przypisująca każdej liczbie całkowitej dokładnie jedną liczbę naturalną. Np.:
Zobacz też[edytuj | edytuj kod]
Przypisy[edytuj | edytuj kod]
- ↑ Rozporządzenie Ministra Edukacji Narodowej z dnia 30 stycznia 2018 r. w sprawie podstawy programowej kształcenia ogólnego dla liceum ogólnokształcącego, technikum oraz branżowej szkoły II stopnia. Dz.U. 2018, poz. 467. s. 293. [dostęp 2020-10-07].