Macierz gęstości

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Przejdź do nawigacji Przejdź do wyszukiwania

Macierz gęstości (ang. density matrix) lub operator gęstości (ang. density operator) to matematyczna reprezentacja stanu układu kwantowego. Jest ogólniejsza od reprezentacji wektorowej, gdyż oprócz stanów czystych (reprezentowanych przez wektor) obejmuje również półklasyczne stany mieszane.

Formalizm operatorów gęstości został wprowadzony przez Johna von Neumanna w 1927.

Tworzenie macierzy gęstości[edytuj | edytuj kod]

Dla stanu czystego reprezentowanego przez wektor odpowiadający mu operator to

czyli operator rzutowy rzutujący na jednowymiarową podprzestrzeń przestrzeni Hilberta

Z kolei dla stanu mieszanego składającego się z (nieinterferujących ze sobą) składników odpowiadający mu operator gęstości to

gdzie to prawdopodobieństwa znalezienia poszczególnego składnika. Muszą one spełniać dla każdego i oraz Jest to operator o wartościach własnych stowarzyszonych (odpowiednio) z wektorami własnymi

Własności[edytuj | edytuj kod]

Dla układu kwantowego opisywanego w przestrzeni Hilberta operator gęstości to dowolny operator liniowy ciągły spełniający poniższe warunki

  • jest samosprzężony,
  • jest dodatnio określony,
  • przy czym równość zachodzi wyłącznie dla stanu czystego.

Gdy układ jest opisywany w skończenie wymiarowej przestrzeni Hilberta, macierz gęstości jest rzeczywiście reprezentowana przez macierz operatora liniowego.

Zbiór wszystkich macierzy gęstości przestrzeni Hilberta jest oznaczany jako Jest to zbiór wypukły, co oznacza, że każdy operator gęstości może być przedstawiony jako kombinacja wypukła:

gdzie dla każdego oraz

Przedstawienie to jest niejednoznaczne, co oznacza że stan mieszany układu kwantowego może być zrealizowany jako próbka stanów czystych na wiele sposobów.

Stany czyste są punktami ekstremalnymi zbioru macierzy gęstości i jako takie mają jednoznaczne przedstawienie.

Równanie von Neumanna dla macierzy gęstości[edytuj | edytuj kod]

Tak jak dla funkcji falowych istnieje równanie Schrödingera, również dla macierzy gęstości istnieje odpowiednie równanie zwane równaniem von Neumanna (lub Liouville’a-von Neumanna)

gdzie to komutator hamiltonianu z macierzą gęstości.

Dzięki temu, że powyższe równanie jest liniowe, w wyprowadzeniu można ograniczyć się do stanów czystych. Istotna jest także samosprzężoność hamiltonianu.

Obliczanie wartości oczekiwanej[edytuj | edytuj kod]

Dla operatora obserwabli wartość średnia na wektorze to

W przypadku mieszania stanów wartość średnią operatora należy uśrednić po wszystkich stanach podlegających mieszaniu wagowaną przez prawdopodobieństwa ich wystąpienia

Do wnętrza powyższego wyrażenia możemy wstawić operator jednostkowy:

Możemy przestawić pod znak sumy oraz zmienić indeks sumowania w (), dzięki czemu otrzymujemy:

Formuła Borna-von Neumana[edytuj | edytuj kod]

W wyniku pomiaru obserwabli na układzie opisanym przez operator gęstości otrzymujemy rozkład prawdopodobieństwa na przestrzeni możliwych wyników opisany wzorem

gdzie to rozkład spektralny obserwabli

Przykład[edytuj | edytuj kod]

W odniesieniu do spektroskopii NMR operator macierzy gęstości opisuje średnią statystyczną układu spinów po wszystkich stanach w których się one znajdują: Elementy diagonalne macierzy oraz odpowiadające stanom własnym energii Zeemana odpowiadają spinom będącym na głównych poziomach energetycznych spinów w polu magnetycznym, są to tzw. populacje. Elementy poza diagonalne w macierzy nazwane są koherencjami, odpowiadają one superpozycjom stanów.