Macierz klatkowa

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Przejdź do nawigacji Przejdź do wyszukiwania

Macierz klatkowa – rozbiór macierzy na umieszczone obok siebie mniejsze macierze zwane klatkami. Macierz klatkowa powstaje po pogrupowaniu zarówno wierszy i kolumn tak, aby w każdej grupie były przylegające do siebie kolumny albo przylegające wiersze. Pojedynczą klatkę tworzą pola macierzy, dla których wszystkie wiersze należą do jednej grupy i wszystkie kolumny należą do jednej grupy.

Definicja formalna[edytuj | edytuj kod]

Rozważmy macierze:

Wówczas macierz zdefiniowaną następująco:

nazywamy macierzą klatkową. Macierz można zapisać w postaci

Przykład[edytuj | edytuj kod]

Macierz

może zostać podzielona na 4 klatki 2×2

Podzieloną macierz możemy wówczas zapisać jako

Macierz klatkowo-diagonalna[edytuj | edytuj kod]

Macierz klatkowo-diagonalna jest macierzą klatkową składającą się z kwadratowych macierzy na przekątnej i zawierającą wyłącznie zera w pozostałych polach. Macierz klatkowo-diagonalna ma postać

gdzie jest macierzą kwadratową.

Mnożenie macierzy klatkowych[edytuj | edytuj kod]

Jeśli rozmiary klatek (ich liczby kolumn i wierszy) w dwóch macierzach klatkowych pasują do siebie, to

gdzie Pozwala to na indukcyjne dowodzenie twierdzeń i konstruowanie algorytmów rekursywnych, np. algorytm Strassena.

Wyznacznik macierzy klatkowych[edytuj | edytuj kod]

Niech będzie ciałem.

  • Jeżeli macierz oraz jest macierzą zerową typu to:
    (dowód w przypisach[1]).
  • Jeżeli macierz oraz jest macierzą zerową typu to:

Przypisy[edytuj | edytuj kod]

  1. Dowód indukcyjny (względem ) pierwszej własności wyznacznika macierzy klatkowej.
    • Niech Wtedy
    • Załóżmy, że teza zachodzi dla
      Niech
      Wówczas z definicji wyznacznika macierzy otrzymuje się:
      gdzie to macierz powstała z macierzy poprzez wykreślenie i-tego wiersza, natomiast z macierzy poprzez wykreślenie -tego wiersza oraz -tej kolumny.
      Ponieważ więc z założenia indukcyjnego:
      Po podstawieniu:

Bibliografia[edytuj | edytuj kod]