Macierz obrotu

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Przejdź do nawigacji Przejdź do wyszukiwania

Macierz obrotumacierz opisująca obrót wektora w przestrzeni euklidesowej. Obrót w -wymiarowej przestrzeni euklidesowej jest opisany przez macierz kwadratową W wyniku mnożenia macierzy obrotu przez wektor otrzymuje się wektor obrócony.

W 2 wymiarach[edytuj | edytuj kod]

Obrót wektora przeciwnie do obrotu wskazówek zegara o kąt Wektor jest początkowo równoległy do osi

W dwóch wymiarach każda macierz obrotu ma postać

Macierz ta obraca wektory kolumnowe następująco

Tak więc współrzędne punktu po obrocie mają wartości

Obrót jest przeciwny do obrotu wskazówek zegara jeżeli kąt jest dodatni (np. 90°), zaś zgodny ze wskazówkami zegara, jeżeli kąt jest ujemny (np. −90°). Dlatego macierz obrotu zgodnego ze wskazówkami zegara ma postać

Obrót w dwóch wymiarach ma szczególną własność przemienności, tak że nie ma znaczenia kolejność wykonywanych obrotów (macierze obrotu są też przemienne).

Uwaga:

Alternatywna konwencja używa obrotu osi układu współrzędnych: wtedy pokazane tu macierze obrotu reprezentują obrót osi zgodnie ze wskazówkami zegara o kąt

W 3 wymiarach – obroty podstawowe[edytuj | edytuj kod]

Obrót podstawowy (zwany też obrotem elementarnym) jest to obrót wokół dowolnej osi układu współrzędnych. Poniżej zapisane trzy macierze obrotów elementarnych obracają wektory o kąt wokół osi lub w trzech wymiarach zgodnie z regułą prawej dłoni. (Te same macierze reprezentują też obrót osi układu przeciwnie do obrotu wynikającego z reguły prawej dłoni, czyli „zgodnie ze wskazówkami zegara”).

Każda z powyższych macierzy obraca wektory kolumnowe przeciwnie do ruchu wskazówek zegara jeżeli: 1) oś obrotu kieruje się w stronę obserwatora; 2) układ współrzędnych jest prawoskrętny; 3) kąt obrotu jest dodatni.

Np. macierz dla kąta obraca wektor ustawiony początkowo zgodnie z osią na kierunek zgodny z osią można to łatwo sprawdzić mnożąc macierz przez wektor (1,0,0):

W 3 wymiarach – dowolne obroty[edytuj | edytuj kod]

Położenia trzech osi obrotu

(1) Obrót wokół środka ciężkości bryły

W środku ciężkości bryły (np. samolotu) umieszczamy 3 nieruchome względem Ziemi osie Bryła dokonuje obrotu wokół tych osi (por. rysunek), przy czym kąty roll – pitch – yaw wynoszą odpowiednio

– kąt obrotu wokół osi
– kąt obrotu wokół osi
– kąt obrotu wokół osi

Macierz całego obrotu oblicza się mnożąc macierze obrotu wokół kolejnych osi, tj.

Jeśli wynikową macierz pomnoży się z prawej strony przez wektor kolumnowy, przedstawiający np. wektor łączący pas pilota z głową, to w wyniku otrzyma się wektor opisujący położenie pilota względem Ziemi po obrocie.

(2) Podobnie, macierz

przedstawia obrót wokół osi z zadany przez kąty Eulera

Własności macierzy obrotu -wymiarach[edytuj | edytuj kod]

Rozważymy tu obroty w dowolnej, -wymiarowej przestrzeni euklidesowej. Obrót jest przykładem izometrii, tj. transformacji, która mimo że przemieszcza punkty przestrzeni, to nie zmienia odległości między nimi. Przy tym obroty odróżniają od innych izometrii dwie szczególne własności:

  1. zostawiają przynajmniej jeden punkt nie zmieniony,
  2. pozostawiają skrętność układu nie zmienioną.

Inaczej jest w przypadku innych izometrii: translacja przesuwa wszystkie punkty, odbicie zmienia układ lewoskrętny na prawoskrętny i odwrotnie, zaś odbicie z przemieszczeniem dokonuje obu zmian.

Tw. 1. Macierz obrotu jest macierzą ortogonalną o wyznaczniku równym 1.

Uzasadnienie:

1) Jeżeli punktem obrotu jest początek układu współrzędnych O(0,0), to każdy punkt P można określić za pomocą wektora łączącego punkt O z punktem P. Można wtedy rozważać działania na takich wektorach (które tworzą przestrzeń wektorową), zamiast rozważać działania na punktach. Załóżmy że są współrzędnymi wektora p łączącego punkt O z punktem P. Jeżeli wybierzemy ortonormalną bazę w przestrzeni, to kwadrat długości wektora p (równy odległości OP) wyznaczamy za pomocą twierdzenia Pitagorasa

Można to wyrazić jako też mnożenie macierzowe

Nałóżmy warunek, że obrót (jak i każda inna izometria) nie zmienia odległości punktów, tzn.

Ponieważ

to otrzymamy:

Powyższe równanie musi być prawdziwe dla wszystkich wektorów p, stąd wynika, że

co oznacza, że macierz odwrotna do macierzy obrotu jest macierzą do niej transponowaną

Stąd wynika, że wyznacznik macierzy jest równy

Wynika z powyższego, że macierz obrotu jest macierzą ortogonalną. Własność ta jest słuszna dla dowolnej macierzy odpowiadającej izometrii.

2) W przypadku obrotu mamy dodatkowo warunek, że obroty zachowują skrętność układu współrzędnych (gdyż nie mogą zmienić kolejności osi układu), co oznacza że wyznacznik macierzy jest równy +1, tj.

Macierz obrotu jest więc specjalną macierzą ortogonalną (tzn. macierzą ortogonalną o wyznaczniku równym 1).

Tw. 2. Jeżeli macierz ma wyznacznik równy jeden i jest ortogonalna, to macierz ta jest macierzą obrotu.

Wniosek:

Z Tw. 1 i Tw. 2 wynika, że istnieje wzajemnie jednoznaczna odpowiedniość między specjalnymi macierzami ortogonalnymi a samymi obrotami.

Grupa macierzy obrotu SO(n)[edytuj | edytuj kod]

Tw. 1. Macierze obrotu tworzą grupę macierzy – specjalną grupę ortogonalną

Np. macierze 2×2 tworzą grupę SO(2), zaś macierze 3×3 tworzą grupę SO(3).

Uzasadnienie:

1) Mnożenie macierzy obrotu jest działaniem w zbiorze tych macierzy, tzn. daje w wyniku macierz obrotu. Niech to wtedy mamy:

2) Element odwrotny: Każda macierz obrotu ma macierz odwrotną, która też jest macierzą obrotu. Jest to macierz transponowana do danej macierzy

oraz

3) Element neutralny: Macierz jednostkowa n×n jest macierzą obrotu o kąt 0°.

4) Mnożenie macierzy jest łączne.

Tw. 2. Dla większego niż 2, mnożenie macierzy obrotu nie jest przemienne – oznacza to, że grupa SO(n) jest nieabelowa dla Np. weźmy

Wtedy mamy

Tw. 3. Grupa macierzy obrotu jest izomorficzna z grupą obrotów w przestrzeni -wymiarowej.

Oznacza to, że macierz obrotu odpowiada dokładnie fizycznie wykonanemu obrotowi wokół osi o odpowiednio dobranym kierunku.

Obroty infinitezymalne w 3D[edytuj | edytuj kod]

Macierze algebry Liego nie są macierzami obrotu – są one antysymetryczne i jako takie pochodnymi macierzy obrotu, obliczonymi dla infinitezymalnego obrotu o kąt od położenia Faktyczna macierz obrotu o kąt infinitezymalny ma postać

gdzie jest macierzą jednostkową 3 × 3. Np. jeżeli macierz obrotu o kąt infinitezymalny wokół osi ma postać

Powyższą macierz otrzymamy z macierzy obrotu stosując przybliżenia: tj. pomijając wyrazy rzędu drugiego i wyższe.

Tw.

Macierze infinitezymalnego obrotu są ortogonalne i przemienne – w odróżnieniu od macierzy obrotu o kąt skończony.

Dowód:

1) Rozważmy macierz

Macierz ta jest ortogonalna, gdyż

– różni się więc od macierzy jednostkowej tylko o pomijalnie małe wyrazy 2-go rzędu A więc z dokładnością do wyrazów 1-go rzędu macierze infinitezymalnego obrotu są ortogonalne, cnd.

2) Kwadrat macierzy tj.

z dokładnością do wyrazów 1-go rzędu ma tę własność, że kąt podwaja się.

3) Macierz infinitezymanego obrotu wokół osi z ma postać

Porównując iloczyny infinitezymalnych obrotów mamy:

Ponieważ jest 2-go rzędu, to można pominąć ten wyraz. Widać, że z dokładnością do wyrazów pierwszego rzędu mnożenie macierzy infinitezymalnego obrotu jest przemienne, tj.

cnd.

Składając infinitezymalne obroty można otrzymać obroty skończone (por. Grupa obrotów).

Zobacz też[edytuj | edytuj kod]

Bibliografia[edytuj | edytuj kod]

  • H. Guściora, M. Sadowski, Repetytorium z algebry liniowej, PWN, Warszawa 1997.
  • T. Trajdos, Matematyka cz. II, Podręczniki akademickie, Warszawa 1993.

Linki zewnętrzne[edytuj | edytuj kod]