Galinović urodził się w Osijeku i tam też w wieku 14 lat zaczął swoją piłkarską karierę w klubie NK Osijek. Jednak pierwszy mecz zaliczył dopiero w sezonie 1995/1996 i był to wówczas jego jedyny występ w tym sezonie. W kolejnych 2 sezonach niemający szans na grę w składzie młody Galinović był wypożyczony do 2-ligowego zespołu NK Belišće. W sezonie 1998/1999 powrócił do Osijeku, w którym walczył o miejsce w składzie i zaliczył 12 ligowych występów. Jednak w kolejnym sezonie Galinović znów usiadł na ławce rezerwowych i zagrał tylko 3-krotnie, a w następnym ani razu nie pojawił się na boisku. Przełomowym sezonem był sezon 2001/2002, gdy Mario w końcu stał się pierwszym bramkarzem po odejściu dotychczasowego pierwszego golkipera NK, Vladimira Balicia. Osijek zajął dopiero 8. miejsce w tabeli, a latem 2002 Galinović pożegnał się z drużyną i odszedł do Kamen Ingrad. Tam przez 2 sezony zagrał we wszystkich ligowych meczach. Dobra postawa zwłaszcza w sezonie 2003/2004 zaowocowała transferem do Panathinaikosu Ateny. W 2010 roku wywalczył mistrzostwo Grecji jako rezerwowy dla Alexandrosa Tzorvasa. Latem został wypożyczony do Kavali.
