Miara wektorowa

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Przejdź do nawigacji Przejdź do wyszukiwania

Miara wektorowaaddytywna funkcja zbiorów określona na ciele zbiorów o wartościach w przestrzeni unormowanej. Miara wektorowa nie jest miarą. Dla miar wektorowych, podobnie jak dla miar, definiuje się pojęcie całki.

Definicja[edytuj | edytuj kod]

Jeśli jest ciałem zbiorów oraz przestrzenią unormowaną, to funkcję spełniającą warunek

dla wszelkich rozłącznych zbiorów nazywamy miarą wektorową[1].

Jeśli jest σ-ciałem podzbiorów zbioru to funkcję nazywamy miarą wektorową przeliczalnie addytywną, gdy dla każdego ciągu zbiorów parami rozłącznych z σ-ciała spełniony jest warunek:

Wahanie i półwahanie[edytuj | edytuj kod]

Jeżeli jest miarą wektorową, to funkcję określoną wzorem

gdzie jest skończoną rodziną zbiorów parami rozłącznych taką, że nazywamy wahaniem miary wektorowej

Funkcję określoną wzorem

nazywamy półwahaniem miary wektorowej

Mówimy, że wahanie ograniczone, jeśli jego wartość od całej przestrzeni jest skończona.

Własności[edytuj | edytuj kod]

  • Jeżeli jest σ-ciałem podzbiorów zbioru a jest przeliczalnie addytywną funkcją zbiorów, to
gdzie to odpowiednio wahanie górne i dolne.
  • Wahanie miary wektorowej jest addytywną funkcją zbiorów. Wahanie miary wektorowej przeliczalnie addytywnej jest miarą.
  • Półwahanie miary wektorowej jest funkcją podaddytywną i monotoniczną funkcją zbiorów.
  • Jeżeli jest miarą wektorową, to
  • Miara wektorowa o ograniczonym wahaniu jest przeliczalnie addytywna wtedy i tylko wtedy, gdy jej wahanie jest przeliczalnie addytywne.
  • Niech (σ-ciało generowane przez ciało porównaj: definicję). Jeśli jest przeliczalnie addytywną miarą wektorową o ograniczonym wahaniu, to dla każdego zachodzi równość:
  • Jeżeli wahanie miary wektorowej jest miarą skończoną, to jest miarą wektorową przeliczalnie addytywną.
  • Zbiór wartości miary wektorowej przeliczalnie addytywnej jest ograniczony.
  • Twierdzenie Dieudonné-Grothendiecka.

Przykłady[edytuj | edytuj kod]

Miara wektorowa (skończenie addytywna).

Niech będzie ciągłym operatorem liniowym. Dla każdego mierzalnego (w sensie Lebesgue’a) podzbioru określmy odwzorowanie

gdzie jest funkcją charakterystyczną.

Miara wektorowa przeliczalnie addytywna.
Niech będzie ciągłym operatorem liniowym. Funkcja dana wzorem jak w powyższym przykładzie jest przeliczalnie addytywna. Ponadto można wykazać, że dla każdego

gdzie jest miarą Lebesgue’a.

Wówczas, także co dowodzi, że jest miarą wektorową o ograniczonym wahaniu.

Miara wektorowa o ograniczonym półwahaniu, której wahanie nie jest ograniczone.

Niech będzie σ-ciałem podzbiorów zbioru mierzalnych w sensie Lebesgue’a. Funkcja dana wzorem

dla jest miara wektorową o ograniczonym półwahaniu, której wahanie nie jest ograniczone.

Miara wektorowa o nieograniczonym półwahaniu.

Niech Funkcja dana wzorem

jest miarą wektorową o nieograniczonym półwahaniu.

Wykazanie rzeczonych własności można znaleźć w[2].

Zobacz też[edytuj | edytuj kod]

Przypisy[edytuj | edytuj kod]

  1. Tsoy-Wo Ma: Banach-Hilbert Spaces, Vector Measures and Group Representations. Providence, Rhode Island: World Scientific Pub Co Inc., 2002.
  2. Diestel J., Uhl J.J: Vector Measures. Providence, Rhode Island: American Mathematical Society, 1977, s. 1–3.