Nierówność między średnimi potęgowymi

Nierówność między średnimi potęgowymi (nierówność między średnimi uogólnionymi) – jedna z klasycznych nierówności mówiąca o własnościach średniej potęgowej. Jest ona uogólnieniem nierówności Cauchy’ego między średnimi, sama zaś jest uogólniana przez nierówność Muirheada.

Definicja i twierdzenie

Średnią potęgową rzędu $p$ liczb $x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n}$ definiuje się jako:

• $\mu _{p}(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n})=\left({\frac {x_{1}^{p}+x_{2}^{p}+\dots +x_{n}^{p}}{n}}\right)^{1/p}$ dla $p\in {\mathbb {R} }\setminus \{0\},$
• $\mu _{0}(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n})={\sqrt[{n}]{x_{1}\cdot x_{2}\cdot \dots \cdot x_{n}}},$
• $\mu _{-\infty }(x_{1},x_{2},\dots ,x_{n})=\min(x_{1},x_{2},\dots ,x_{n}),$
• $\mu _{+\infty }(x_{1},x_{2},\dots ,x_{n})=\max(x_{1},x_{2},\dots ,x_{n}).$

Przykładowo, dla $p=1$ otrzymujemy średnią arytmetyczną, dla $p=0$ średnią geometryczną, dla $p=-1$ średnią harmoniczną, dla $p=2$ średnią kwadratową.

Twierdzenie

Niech $-\infty \leqslant p<q\leqslant +\infty$ i niech dane będzie $n$ liczb $x_{1},x_{2},\dots ,x_{n}>0$ (jeśli ograniczamy się do rzędów $p,q>0,$ można przyjąć $x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n}\geqslant 0$).

Wówczas średnia potęgowa rzędu $p$ liczb $x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n}$ jest nie większa od ich średniej potęgowej rzędu $q,$ czyli

$\mu _{p}(x_{1},\ldots ,x_{n})\leqslant \mu _{q}(x_{1},\dots ,x_{n}).$

Ponadto równość w powyższym wyrażeniu zachodzi wtedy i tylko wtedy, gdy liczby $x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n}$ są wszystkie równe.

Wniosek

Dla dowolnych liczb dodatnich $x_{1},x_{2},\dots ,x_{n}$ funkcja

$\mathbb {R} \ni t\mapsto \mu _{t}(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n})\in \mathbb {R}$

jest funkcją niemalejącą. Więcej: można pokazać, że jest stała lub ściśle rosnąca.

Przykład

Udowodnimy korzystając z powyższej nierówności, że

jeśli $a,b,c>0$ oraz $a^{3}+b^{3}+c^{3}=81,$ to $a+b+c\leqslant 9.$

W tym celu zauważmy, że na mocy nierówności między średnimi potęgowymi rzędów 1 oraz 3 mamy

${\frac {a+b+c}{3}}\leqslant \left({\frac {a^{3}+b^{3}+c^{3}}{3}}\right)^{\frac {1}{3}}={\sqrt[{3}]{27}}=3,$

co jest równoważne nierówności, którą mieliśmy udowodnić.

Dowód

Na potrzeby wszystkich dowodów dla uproszczenia zakładamy, że wagi $w_{i}$ spełniają warunki:

$w_{i}\in (0;1]$

$\sum _{i=1}^{n}w_{i}=1$

Średnia geometryczna

Dla dowolnego $q$ nierówność między średnią rzędu $q$ i średnią geometryczną możemy przekształcić w następujący sposób:

$\prod _{i=1}^{n}x_{i}^{w_{i}}\leqslant {\sqrt[{q}]{\sum _{i=1}^{n}w_{i}x_{i}^{q}}}$

${\sqrt[{q}]{\sum _{i=1}^{n}w_{i}x_{i}^{q}}}\leqslant \prod _{i=1}^{n}x_{i}^{w_{i}}$

(pierwsza nierówność jest prawdziwa dla $q>0,$ druga w przeciwnym wypadku)

podnosimy obustronnie do potęgi $q$:

$\prod _{i=1}^{n}x_{i}^{w_{i}\cdot q}\leqslant \sum _{i=1}^{n}w_{i}x_{i}^{q}$

i w obu przypadkach otrzymujemy nierówność między ważoną średnią arytmetyczną i geometryczną dla ciągu $x_{i}^{q},$ którą możemy udowodnić przy użyciu nierówności Jensena, korzystając z wklęsłości funkcji logarytmicznej:

$\sum _{i=1}^{n}w_{i}\log(x_{i})\leqslant \log \sum _{i=1}^{n}w_{i}x_{i}$

$\log \prod _{i=1}^{n}x_{i}^{w_{i}}\leqslant \log \sum _{i=1}^{n}w_{i}x_{i}$

Po złożeniu obu stron nierówności z (rosnącą) funkcją wykładniczą $x\to e^{x}$ uzyskuje się żądaną nierówność:

$\prod _{i=1}^{n}x_{i}^{w_{i}}\leqslant \sum _{i=1}^{n}w_{i}x_{i}.$

Stąd dla dowolnego dodatniego $q$ zachodzi:

${\sqrt[{-q}]{\sum _{i=1}^{n}w_{i}x_{i}^{-q}}}\leqslant \prod _{i=1}^{n}x_{i}^{w_{i}}\leqslant {\sqrt[{q}]{\sum _{i=1}^{n}w_{i}x_{i}^{q}}}$

tym samym udowodniliśmy nierówność między dowolną średnią potęgową a średnią geometryczną.

Średnia geometryczna jako granica

Możemy ponadto udowodnić, że średnia geometryczna jest granicą średnich potęgowych dla rzędu dążącego do zera. W pierwszej kolejności udowodnimy granicę:

$\lim _{p\to 0}{\frac {\log \left(\sum _{i=1}^{n}w_{i}x_{i}^{p}\right)}{p}}=\sum _{i=1}^{n}w_{i}\log(x_{i})$

Granice licznika i mianownika są, odpowiednio, równe 0, więc z reguły de l’Hospitala wynika, iż:

$\lim _{p\to 0}{\frac {\log \left(\sum _{i=1}^{n}w_{i}x_{i}^{p}\right)}{p}}=\lim _{p\to 0}{\frac {1}{\sum _{i=1}^{n}w_{i}x_{i}^{p}}}\cdot \left(\sum _{i=1}^{n}w_{i}x_{i}^{p}\right)'=$

$={\frac {1}{\sum _{i=1}^{n}w_{i}}}\cdot \lim _{p\to 0}\sum _{i=1}^{n}(w_{i}\cdot \log(x_{i})\cdot x_{i}^{p})=\sum _{i=1}^{n}w_{i}\log(x_{i})$

Następnie korzystając z ciągłości funkcji wykładniczej:

$\lim _{p\to 0}{\sqrt[{p}]{\sum _{i=1}^{n}w_{i}x_{i}^{p}}}=\lim _{p\to 0}\exp \left({\frac {\log \left(\sum _{i=1}^{n}w_{i}x_{i}^{p}\right)}{p}}\right)=\exp \left(\lim _{p\to 0}{\frac {\log \left(\sum _{i=1}^{n}w_{i}x_{i}^{p}\right)}{p}}\right)=\exp \left(\sum _{i=1}^{n}w_{i}\log(x_{i})\right)=\prod _{i=1}^{n}x_{i}^{w_{i}}$

co kończy dowód.

Nierówność między dowolnymi średnimi potęgowymi

Chcemy udowodnić, że dla dowolnych $p<q$ zachodzi:

${\sqrt[{p}]{\sum _{i=1}^{n}w_{i}x_{i}^{p}}}\leqslant {\sqrt[{q}]{\sum _{i=1}^{n}w_{i}x_{i}^{q}}}$

w przypadku kiedy $p$ jest ujemne, a $q$ dodatnie, nierówność jest równoważna nierówności udowodnionej wcześniej:

${\sqrt[{p}]{\sum _{i=1}^{n}w_{i}x_{i}^{p}}}\leqslant \prod _{i=1}^{n}x_{i}^{w_{i}}\leqslant {\sqrt[{q}]{\sum _{i=1}^{n}w_{i}x_{i}^{q}}}$

Udowodnijmy zatem nierówność dla dodatnich $p$ i $q.$

Weźmy funkcję $f:{\mathbb {R} _{+}}\rightarrow {\mathbb {R} _{+}},$ $f(x)=x^{\frac {q}{p}}.$ Oczywiście $f$ jest rosnąca, bo $q$/$p$ jest dodatnie. Jest to funkcja potęgowa, ma zatem drugą pochodną: $f''(x)=\left({\frac {q}{p}}\right)\left({\frac {q}{p}}-1\right)x^{{\frac {q}{p}}-2},$ która jest zawsze dodatnia, bo $q$ > $p,$ z czego wynika wypukłość $f.$

Z nierówności Jensena uzyskujemy wobec tego:

$f\left(\sum _{i=1}^{n}w_{i}x_{i}^{p}\right)\leqslant \sum _{i=1}^{n}w_{i}f(x_{i}^{p})$

${\sqrt[{\frac {p}{q}}]{\sum _{i=1}^{n}w_{i}x_{i}^{p}}}\leqslant \sum _{i=1}^{n}w_{i}x_{i}^{q}$

po wyciągnięciu obustronnie pierwiastka $q$-tego stopnia (funkcja rosnąca, bo $q$ > 0) uzyskujemy żądaną nierówność dla dodatnich $p$ i $q$:

${\sqrt[{p}]{\sum _{i=1}^{n}w_{i}x_{i}^{p}}}\leqslant {\sqrt[{q}]{\sum _{i=1}^{n}w_{i}x_{i}^{q}}}$

Jeśli rozważamy rzędy $p,q$ ujemne, wówczas $x_{i}>0,$ więc można podstawiając $x_{i}:={\tfrac {1}{x_{i}}}$ bez straty ogólności uzyskać:

${\sqrt[{p}]{\sum _{i=1}^{n}{\frac {w_{i}}{x_{i}^{p}}}}}\leqslant {\sqrt[{q}]{\sum _{i=1}^{n}{\frac {w_{i}}{x_{i}^{q}}}}}$

Podnosimy obustronnie do potęgi -1 (funkcja malejąca):

${\sqrt[{-p}]{\sum _{i=1}^{n}w_{i}x_{i}^{-p}}}={\sqrt[{p}]{\frac {1}{\sum _{i=1}^{n}w_{i}{\frac {1}{x_{i}^{p}}}}}}\geqslant {\sqrt[{q}]{\frac {1}{\sum _{i=1}^{n}w_{i}{\frac {1}{x_{i}^{q}}}}}}={\sqrt[{-q}]{\sum _{i=1}^{n}w_{i}x_{i}^{-q}}}$

A zatem dowiedliśmy nierówności także dla ujemnych $p$ i $q$ co kończy dowód.

Minimum i maksimum

Minimum i maksimum przyjmuje się za średnie potęgowe rzędów $\pm \infty .$ Wynika to z faktu, że są to odpowiednie granice średnich potęgowych, dowód jest następujący:

Niech $x_{1}$ będzie największym, a $x_{n}$ najmniejszym z $x_{i}.$ Na początek korzystając z twierdzenia o trzech funkcjach udowodnimy granicę:

$\lim _{p\to \infty }\left({\frac {1}{p}}\ln \left({\frac {\sum _{i=1}^{n}w_{i}x_{i}^{p}}{x_{1}^{p}}}\right)\right)=0$

Wystarczy zauważyć nierówności dla dodatnich $p$:

${\frac {1}{p}}\ln(w_{1})={\frac {1}{p}}\ln \left({\frac {w_{1}x_{1}^{p}}{x_{1}^{p}}}\right)\leq {\frac {1}{p}}\ln \left({\frac {\sum _{i=1}^{n}w_{i}x_{i}^{p}}{x_{1}^{p}}}\right)$

${\frac {1}{p}}\ln \left({\frac {\sum _{i=1}^{n}w_{i}x_{i}^{p}}{x_{1}^{p}}}\right)\leq {\frac {1}{p}}\ln \left({\frac {\sum _{i=1}^{n}w_{i}x_{1}^{p}}{x_{1}^{p}}}\right)=\ln(1)=0$

Następnie korzystając z udowodnionej granicy:

$\lim _{p\to \infty }{\frac {1}{p}}\ln \left(\sum _{i=1}^{n}w_{i}x_{i}^{p}\right)=\lim _{p\to \infty }{\frac {1}{p}}\ln \left(x_{1}^{p}\cdot {\frac {\sum _{i=1}^{n}w_{i}x_{i}^{p}}{x_{1}^{p}}}\right)=\lim _{p\to \infty }{\frac {1}{p}}\left(\ln(x_{1}^{p})+\ln \left({\frac {\sum _{i=1}^{n}w_{i}x_{i}^{p}}{x_{1}^{p}}}\right)\right)=$

$=\lim _{p\to \infty }\left({\frac {\ln(x_{1}^{p})}{p}}\right)+\lim _{p\to \infty }\left({\frac {1}{p}}\ln \left({\frac {\sum _{i=1}^{n}w_{i}x_{i}^{p}}{x_{1}^{p}}}\right)\right)=\ln(x_{1})+0=\ln(x_{1})$

Stąd korzystając z ciągłości funkcji wykładniczej:

$\lim _{p\to \infty }{\sqrt[{p}]{\sum _{i=1}^{n}w_{i}x_{i}^{p}}}=\lim _{p\to \infty }\exp \left({\frac {1}{p}}\ln \left(\sum _{i=1}^{n}w_{i}x_{i}^{p}\right)\right)=\exp \left(\lim _{p\to \infty }{\frac {1}{p}}\ln \left(\sum _{i=1}^{n}w_{i}x_{i}^{p}\right)\right)=x_{1}$

Analogicznie dla ujemnych $p$:

$\lim _{p\to -\infty }\left({\frac {1}{p}}\ln \left({\frac {\sum _{i=1}^{n}w_{i}x_{n}^{p}}{x_{n}^{p}}}\right)\right)=0$

bo (wciąż dla $p<0$):

${\frac {1}{p}}\ln(w_{n})={\frac {1}{p}}\ln \left({\frac {w_{n}x_{n}^{p}}{x_{n}^{p}}}\right)\geq {\frac {1}{p}}\ln \left({\frac {\sum _{i=1}^{n}w_{i}x_{i}^{p}}{x_{n}^{p}}}\right)$

${\frac {1}{p}}\ln \left({\frac {\sum _{i=1}^{n}w_{i}x_{i}^{p}}{x_{n}^{p}}}\right)\geq {\frac {1}{p}}\ln \left({\frac {\sum _{i=1}^{n}w_{i}x_{n}^{p}}{x_{n}^{p}}}\right)=\ln(1)=0$

Stąd:

$\lim _{p\to -\infty }{\frac {1}{p}}\ln \left(\sum _{i=1}^{n}w_{i}x_{i}^{p}\right)=\lim _{p\to -\infty }\left({\frac {\ln(x_{n}^{p})}{p}}\right)+\lim _{p\to -\infty }\left({\frac {1}{p}}\ln \left({\frac {\sum _{i=1}^{n}w_{i}x_{i}^{p}}{x_{n}^{p}}}\right)\right)=\ln(x_{n})$

I w końcu analogicznie:

$\lim _{p\to -\infty }{\sqrt[{p}]{\sum _{i=1}^{n}w_{i}x_{i}^{p}}}=\exp \left(\lim _{p\to -\infty }{\frac {1}{p}}\ln \left(\sum _{i=1}^{n}w_{i}x_{i}^{p}\right)\right)=x_{n}$

Zobacz też

• nierówności między średnimi
• nierówność Muirheada