Obraz i przeciwobraz

Obraz – zbiór wszystkich wartości (należących do przeciwdziedziny) przyjmowanych przez funkcję dla każdego elementu danego podzbioru jej dziedziny. Przeciwobraz – zbiór wszystkich elementów dziedziny, które są odwzorowywane na elementy danego podzbioru przeciwdziedziny.

Obraz i przeciwobraz można zdefiniować nie tylko dla funkcji, ale ogólnie dla wszystkich relacji dwuargumentowych.

Definicja

Słowo „obraz” może oznaczać jedno z trzech poniższych, powiązanych ze sobą, pojęć. Dalej $f\colon X\to Y$ oznacza funkcję (w szczególności, np. w algebrze liniowej, operator) ze zbioru $X$ w zbiór $Y.$

Obraz elementu

Jeżeli $x$ jest elementem $X,$ to $f(x)=y,$ czyli wartość funkcji $f$ na elemencie $x,$ nazywa się obrazem $x$ poprzez $f.$

Obraz zbioru

Obrazem zbioru $A\subseteq X$ w funkcji $f$ nazywa się podzbiór $f[A]\subseteq Y$ wszystkich obrazów elementów tego zbioru, tzn. zbiór

$\left\{y\in Y\colon f(x)=y{\text{ dla pewnego }}x\in A\right\}=\left\{f(x)\in Y\colon x\in A\right\}.$

Jeżeli nie istnieje ryzyko pomyłki, to zamiast $f[A]$ pisze się $f(A).$ Zapis ten pozwala na interpretację obrazu poprzez $f$ jako funkcji, której dziedziną jest zbiór potęgowy (wszystkie podzbiory) zbioru $X,$ a przeciwdziedziną zbiór potęgowy zbioru $Y.$

Obraz funkcji

f jest funkcją o dziedzinie X i przeciwdziedzinie Y. Żółty owal w Y jest obrazem funkcji f.

Obraz $f[X]$ całej dziedziny $X$ nazywa się zwykle obrazem funkcji $f.$ Do innych oznaczeń należą również $f(X)$ (j.w.), $\operatorname {im} (f)$ (ang. image – obraz).

Przeciwobraz

Przeciwobrazem zbioru $B\subseteq Y$ względem $f$ nazywa się podzbiór zbioru $X$ określony wzorem

$f^{-1}[B]=\{x\in X\colon f(x)\in B\}.$

Przeciwobraz zbioru jednoelementowego, oznaczany symbolem $f^{-1}[\scriptstyle \{y\}]$ lub $f^{-1}[y],$ nazywa się włóknem nad $y$ lub poziomicą lub warstwicą $y.$

Zbiór wszystkich włókien nad elementami $Y$ tworzy rodzinę zbiorów indeksowaną przez $Y.$ Prowadzi to do pojęcia kategorii rozwłóknień.

Jeśli nie ma ryzyka pomyłki, to $f^{-1}[B]$ można oznaczać symbolem $f^{-1}(B)$ i myśleć o $f^{-1}$ jako o funkcji ze zbioru potęgowego $Y$ w zbiór potęgowy $X.$ Oznaczenie $f^{-1}$ może przywodzić na myśl notację odrębnego pojęcia funkcji odwrotnej, które pokrywa się z pojęciem przeciwobrazu wtedy i tylko wtedy, gdy $f$ jest bijekcją.

Notacja

Tradycyjne sposoby zapisu przedstawione w wyżej mogą prowadzić do nieścisłości. Alternatywą może być wyodrębnienie oddzielnych nazw dla obrazu i przeciwobrazu jako funkcji między zbiorami potęgowymi:

Notacja strzałkowa

$f^{\to }\colon {\mathcal {P}}(X)\to {\mathcal {P}}(Y),$ gdzie $f^{\to }(A)=\{f(a)\colon a\in A\},$

$f^{\leftarrow }\colon {\mathcal {P}}(Y)\to {\mathcal {P}}(X),$ gdzie $f^{\leftarrow }(B)=\{a\in X\colon f(a)\in B\}.$

Notacja gwiazdkowa

$f_{\star }\colon {\mathcal {P}}(X)\to {\mathcal {P}}(Y)$ zamiast $f^{\to },$

$f^{\star }\colon {\mathcal {P}}(Y)\to {\mathcal {P}}(X)$ zamiast $f^{\leftarrow }.$

Inne

Alternatywną notacją $f[A]$ wykorzystywaną m.in. w logice matematycznej i teorii mnogości jest $f''A.$

W niektórych pracach obraz $f$ nazywa się także „zbiorem wartości”, jednak w ogólności powinno unikać się tego wyrażenia, ponieważ niekiedy terminem tym określa się jednak całą przeciwdziedzinę. Podobny problem istnieje w języku angielskim, z którego zapożyczono oznaczenia obrazu funkcji $f$ postaci $\operatorname {rg} (f)$ bądź $\operatorname {ran} (f)$ (ang. range – zbiór wartości, przeciwdziedzina; dosł. zakres).

Przykłady

Brzeg zbioru Mandelbrota jako obraz okręgu jednostkowego względem odwzorowania $\Psi _{M}.$

Kardioida jako obraz okręgu jednostkowego.

Krzywa sercowa jako obraz okręgu jednostkowego.

• $f\colon \{1,2,3\}\to \{a,b,c,d\}$ określona wzorem $f(x)={\begin{cases}a&{\text{dla }}x=1,2\\c&{\text{dla }}x=3.\end{cases}}$

  Obrazem zbioru $\{2,3\}$ poprzez $f$ jest $f[\scriptstyle \{2,3\}]=\{a,c\}.$ Obrazem funkcji jest $\{a,c\}.$ Przeciwobrazem $a$ jest $f^{-1}[a]=\{1,2\}.$ Przeciwobrazem $\{a,b\}$ również jest $\{1,2\}.$ Przeciwobrazem $\{b,d\}$ jest zbiór pusty $\{\}.$

• $f\colon \mathbb {R} \to \mathbb {R}$ dana wzorem $f(x)=x^{2}.$

  Obrazem $\{-2,3\}$ w $f$ jest $f[\scriptstyle \{-2,3\}]=\{4,9\},$ a obrazem $f$ jest $\mathbb {R} ^{+}.$ Przeciwobraz $\{4,9\}$ w $f$ to $f^{-1}[\scriptstyle \{4,9\}]=\{-3,-2,2,3\}.$ Przeciwobrazem zbioru $N=\{n\in \mathbb {R} \colon n<0\}$ w $f$ jest zbiór pusty, ponieważ liczby ujemne nie mają pierwiastków kwadratowych w zbiorze liczb rzeczywistych.

• $f\colon \mathbb {R} ^{2}\to \mathbb {R}$ dana wzorem $f(x,y)=x^{2}+y^{2}.$

  Włóknami (poziomicami) $f^{-1}[a]$ są okręgi o wspólnym środku w początku układu współrzędnych, sam początek i zbiór pusty, w zależności od wartości parametru $a,$ odpowiednio: $a>0,$ $a=0$ oraz $a<0.$

• Jeżeli $M$ jest rozmaitością, a $\pi \colon \operatorname {T} M\to M$ jest rzutem kanonicznym wiązki stycznej $\operatorname {T} M$ na $M,$ to przestrzenie styczne $\operatorname {T} _{x}(M)$ dla $x\in M.$ Jest to przykład wiązki włóknistej.

Własności

Niech dana będzie funkcja $f\colon X\to Y.$ Dla wszystkich podzbiorów $A,A_{1},A_{2}\subseteq X$ oraz $B,B_{1},B_{2}\subseteq Y$ zachodzą następujące własności:

• obraz jest podzbiorem przeciwdziedziny, a przeciwobraz – dziedziny,

  $f[A]\subseteq Y$ oraz $f^{-1}[B]\subseteq X;$

• działania brania obrazu i przeciwobrazu związane są ze sobą następującymi relacjami:

  $f[f^{-1}[B]]\subseteq B$ (równość dla funkcji „na”),

  $f^{-1}[f[A]]\supseteq A$ (równość dla funkcji różnowartościowej),

  $f[A]\subseteq B\Leftrightarrow A\subseteq f^{-1}[B];$

• operacje obrazu i przeciwobrazu są monotoniczne, tzn.

  $A_{1}\subseteq A_{2}\Rightarrow f\left[A_{1}\right]\subseteq f\left[A_{2}\right]$ oraz

  $B_{1}\subseteq B_{2}\Rightarrow f^{-1}\left[B_{1}\right]\subseteq f^{-1}\left[B_{2}\right];$

• prawdziwe są także poniższe związki z działaniami brania sumy i przekroju zbiorów:

  $f[A\cup B]=f[A]\cup f[B],$

  $f[A\cap B]\subseteq f[A]\cap f[B]$ (równość, gdy funkcja jest różnowartościowa),

  $f^{-1}[A\cup B]=f^{-1}[A]\cup f^{-1}[B],$

  $f^{-1}[A\cap B]=f^{-1}[A]\cap f^{-1}[B];$

• zachodzi również następujący związek z braniem dopełnienia zbioru:

  $f^{-1}\left[B^{\operatorname {c} }\right]=(f^{-1}[B])^{\operatorname {c} },$

• z powyższych wynikają w szczególności te oto relacje z różnicą zbiorów:

  $f\left[A\setminus B\right]\supseteq f[A]\setminus f[B],$

  $f^{-1}\left[A\setminus B\right]=f^{-1}[A]\setminus f^{-1}[B],$

• istnieje też tożsamość wiążąca przeciwobraz z zawężeniem funkcji:

  $(f|_{A})^{-1}[B]=A\cap f^{-1}[B].$

Wyżej przedstawione stosunki łączące obrazy i przeciwobrazy z algebrą (Boole’a) przekrojów i sum zachodzą nie tylko dla par zbiorów (a przez indukcję – skończonej ich liczby), ale także dla dowolnej rodziny podzbiorów (także nieprzeliczalnej). Niech $(A_{i})_{i\in I}$ będzie rodziną indeksowaną podzbiorów $X,$ a $(B_{j})_{j\in J}$ będzie rodziną indeksowaną podzbiorów $Y.$ Wówczas

• $f\left[\bigcup A_{i}\right]=\bigcup f\left[A_{i}\right],$
• $f\left[\bigcap A_{i}\right]\subseteq \bigcap f\left[A_{i}\right]$

oraz

• $f^{-1}\left[\bigcup B_{j}\right]=\bigcup f^{-1}\left[B_{j}\right],$
• $f^{-1}\left[\bigcap B_{j}\right]=\bigcap f^{-1}\left[B_{j}\right].$

W języku algebry podzbiorów powyższe obserwacje oznaczają, że funkcja brania przeciwobrazu jest homomorfizmem krat, zaś funkcja obrazu jest tylko homomorfizmem półkrat (ponieważ nie zawsze zachowuje przekroje).

Przeciwobraz zbioru $B\subset Y$ względem złożenia $g\circ f\colon X\to Z$ dwóch funkcji $f\colon X\to Y$ oraz $g\colon Y\to Z$ dany jest wzorem:

• $(g\circ f)^{-1}[B]=\left(f^{-1}\circ g^{-1}\right)[B].$

Obraz w ogólności nie zachowuje mocy podzbiorów. $|f[A]|\leqslant |A|,$ a równość zachodzi tylko dla iniekcji (funkcji różnowartościowych). Analogicznie jest z przeciwobrazem: $|f^{-1}[B]|\geqslant |B|$ i równość zachodzi pod tym samym warunkiem.

Zobacz też

• dziedzina, przeciwdziedzina
• jądro funkcji
• obraz w teorii kategorii

Bibliografia

• Michael Artin: Algebra. Prentice Hall, 1991. ISBN 81-203-0871-9.
• Thomas ScottT.S. Blyth Thomas ScottT.S., Lattices and Ordered Algebraic Structures, London: Springer, 2005, ISBN 1-85233-905-5, OCLC 262677746 .
• Ten artykuł zawiera materiał z artykułu Fibre na PlanetMath, który został udostępniony na licencji Creative Commons Attribution/Share-Alike License.