Obraz – zbiór wszystkich wartości (należących do przeciwdziedziny) przyjmowanych przez funkcję dla każdego elementu danego podzbioru jej dziedziny.
Przeciwobraz – zbiór wszystkich elementów dziedziny, które są odwzorowywane na elementy danego podzbioru przeciwdziedziny.
Obraz i przeciwobraz można zdefiniować nie tylko dla funkcji, ale ogólnie dla wszystkich relacji dwuargumentowych.
Słowo „obraz” może oznaczać jedno z trzech poniższych, powiązanych ze sobą, pojęć. Dalej oznacza funkcję (w szczególności, np. w algebrze liniowej, operator) ze zbioru w zbiór
Obrazem zbioru w funkcji nazywa się podzbiór wszystkich obrazów elementów tego zbioru, tzn. zbiór
Jeżeli nie istnieje ryzyko pomyłki, to zamiast pisze się Zapis ten pozwala na interpretację obrazu poprzez jako funkcji, której dziedziną jest zbiór potęgowy (wszystkie podzbiory) zbioru a przeciwdziedziną zbiór potęgowy zbioru
Jeśli nie ma ryzyka pomyłki, to można oznaczać symbolem i myśleć o jako o funkcji ze zbioru potęgowego w zbiór potęgowy Oznaczenie może przywodzić na myśl notację odrębnego pojęcia funkcji odwrotnej, które pokrywa się z pojęciem przeciwobrazu wtedy i tylko wtedy, gdy jest bijekcją.
Tradycyjne sposoby zapisu przedstawione w wyżej mogą prowadzić do nieścisłości. Alternatywą[1] może być wyodrębnienie oddzielnych nazw dla obrazu i przeciwobrazu jako funkcji między zbiorami potęgowymi:
W niektórych pracach obraz nazywa się także „zbiorem wartości”, jednak w ogólności powinno unikać się tego wyrażenia, ponieważ niekiedy terminem tym określa się jednak całą przeciwdziedzinę. Podobny problem istnieje w języku angielskim, z którego zapożyczono oznaczenia obrazu funkcji postaci bądź (ang. range – zbiór wartości, przeciwdziedzina; dosł. zakres).
Obrazem zbioru poprzez jest Obrazem funkcji jest Przeciwobrazem jest Przeciwobrazem również jest Przeciwobrazem jest zbiór pusty
dana wzorem
Obrazem w jest a obrazem jest Przeciwobraz w to Przeciwobrazem zbioru w jest zbiór pusty, ponieważ liczby ujemne nie mają pierwiastków kwadratowych w zbiorze liczb rzeczywistych.
operacje obrazu i przeciwobrazu są monotoniczne, tzn.
oraz
prawdziwe są także poniższe związki z działaniami brania sumy i przekroju zbiorów:
(równość, gdy funkcja jest różnowartościowa),
zachodzi również następujący związek z braniem dopełnienia zbioru:
z powyższych wynikają w szczególności te oto relacje z różnicą zbiorów:
istnieje też tożsamość wiążąca przeciwobraz z zawężeniem funkcji:
Wyżej przedstawione stosunki łączące obrazy i przeciwobrazy z algebrą (Boole’a) przekrojów i sum zachodzą nie tylko dla par zbiorów (a przez indukcję – skończonej ich liczby), ale także dla dowolnej rodziny podzbiorów (także nieprzeliczalnej). Niech będzie rodziną indeksowaną podzbiorów a będzie rodziną indeksowaną podzbiorów Wówczas
oraz
W języku algebry podzbiorów powyższe obserwacje oznaczają, że funkcja brania przeciwobrazu jest homomorfizmem krat, zaś funkcja obrazu jest tylko homomorfizmem półkrat (ponieważ nie zawsze zachowuje przekroje).
Przeciwobraz zbioru względem złożenia dwóch funkcji oraz dany jest wzorem:
Obraz w ogólności nie zachowuje mocy podzbiorów. a równość zachodzi tylko dla iniekcji (funkcji różnowartościowych). Analogicznie jest z przeciwobrazem: i równość zachodzi pod tym samym warunkiem[potrzebny przypis].