Permutacja

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Przejdź do nawigacji Przejdź do wyszukiwania

Permutacja (łac. permutatio „zmiana, wymiana”) – wzajemnie jednoznaczne przekształcenie pewnego zbioru na siebie. Najczęściej termin ten oznacza funkcję na zbiorach skończonych.

Permutacje zbiorów skończonych mogą być utożsamiane z ustawianiem elementów zbioru w pewnej kolejności. W poniższym artykule zbiór wszystkich permutacji zbioru będzie oznaczany jeżeli to zapisywany on będzie symbolem (zob. pozostałe oznaczenia w artykule o grupach permutacji).

Zapis[edytuj | edytuj kod]

Dla permutacji zbiorów skończonych stosuje się specjalne oznaczenia. Niech wówczas zapisuje się ją jako

gdzie dla

Zapis macierzowy[edytuj | edytuj kod]

Permutację można też zapisać jako macierz dla której

Na przykład permutację można zapisać jako

Grupa permutacji[edytuj | edytuj kod]

 Osobny artykuł: Grupa permutacji.

Zbiór wszystkich permutacji zbioru wraz z działaniem składania funkcji stanowi grupę nazywaną grupą permutacji. Jeśli jest zbiorem -elementowym, to grupa jest izomorficzna z niech będzie bijekcją. Wówczas odwzorowanie

jest izomorfizmem grup. Podobnie można pokazać, że jeśli zbiory równoliczne, to grupy są izomorficzne, a więc nierozróżnialne na gruncie teorii grup.

Rząd grupy czyli moc zbioru wszystkich permutacji zbioru -elementowego, to możliwa liczba uporządkowań tego zbioru równa gdzie wykrzyknik oznacza silnię. W kombinatoryce na oznaczenie liczności tego zbioru stosuje się również symbol

Składanie permutacji[edytuj | edytuj kod]

 Osobny artykuł: Złożenie funkcji.

Złożeniem permutacji jest permutacja zadana wzorem

dla
Przykład

Permutacja odwrotna[edytuj | edytuj kod]

 Osobny artykuł: Funkcja odwrotna.

Permutacja odwrotna do permutacji odwzorowującej wiersz górny na dolny, to permutacja odwzorowująca dolny wiersz na górny: aby uzyskać jej zapis, należy zamienić porządek wierszy i (dla wygody) uporządkować rosnąco kolumny.

W zapisie macierzowym, macierz permutacji odwrotnej do permutacji to transpozycja macierzy permutacji

Przykład
Jeśli to
W zapisie macierzowym, ta sama permutacja ma macierz:
a permutacja odwrotna do ma macierz

Znak permutacji[edytuj | edytuj kod]

Znak permutacji definiuje się jako znak wyznacznika macierzy tej permutacji. Można na to spojrzeć też w inny sposób: każdą permutację można otrzymać za pomocą złożenia różnych ilości przestawień (transpozycji) par elementów. Takie przedstawienie permutacji nie jest jednoznaczne i można zmienić ilość użytych transpozycji, niemniej jednak liczba transpozycji w takiej reprezentacji jest zawsze albo parzysta albo nieparzysta. Inaczej mówiąc, parzystość liczby transpozycji jest niezmiennikiem tej operacji. Wynika to z faktu, że każda transpozycja zmienia całkowitą liczbę inwersji o liczbę nieparzystą. Permutację, która ma parzystą liczbę inwersji nazywamy parzystą (lub dodatnią), zaś jeśli ma ona nieparzystą liczbę inwersji to nazywamy ją permutacją nieparzystą (lub ujemną).

Cykle[edytuj | edytuj kod]

Cyklem nazywamy każdą permutację postaci:

Zazwyczaj, gdy operujemy na cyklach opuszczamy część: gdyż nie wnosi ona nic nowego.

Zapis cyklu możemy jeszcze uprościć. Wystarczy zauważyć że dolny wiersz naszego symbolu oznaczającego cykl można jednoznacznie odtworzyć z górnego. Zatem nasz ostateczny uproszczony symbol przybiera postać:

Można udowodnić (choć jest to dość intuicyjne), że każdą permutację można przedstawić jako złożenie rozłącznych (niezależnych), a więc i różnych, cykli. Ponieważ cykle są różne i wszystkie należą do zbioru o ilości elementów więc

Składanie permutacji, podobnie jak większości funkcji, nie jest przemienne. Nie dotyczy to sytuacji, gdy składamy permutacje rozłączne (niezależne). Ponieważ permutacjami rozłącznymi są rozłączne cykle to zachodzi następujące twierdzenie:

gdzie jest rozkładem permutacji na rozłącznych cykli.
Przykłady
Cyklem jest permutacja:
którą można zapisać jako
Rozkład na cykle

Kombinatoryka[edytuj | edytuj kod]

Permutacja bez powtórzeń[edytuj | edytuj kod]

Permutacja jest szczególnym przypadkiem wariacji bez powtórzeń.

Definicja: Permutacją bez powtórzeń zbioru złożonego z n różnych elementów nazywamy każdy n wyrazowy ciąg utworzony ze wszystkich wyrazów zbioru. Wszystkich możliwych permutacji zbioru n-elementowego jest:

Przykład: Elementy zbioru można ustawić w ciąg na sposobów:

Wyjaśnienie: W każdej z permutacji mamy do zapełnienia trzy wolne miejsca. W pierwszym z nich możemy umieścić dowolną z liter na trzy sposoby na drugim dowolną spośród pozostałych jeszcze dwóch liter na dwa sposoby itd. Na ostatnim miejscu musi znaleźć się ostatnia dostępna litera (element zbioru), a zatem możemy to zrobić tylko na jeden sposób. Ostatecznie otrzymujemy:

Permutacja z powtórzeniami[edytuj | edytuj kod]

Niech oznacza zbiór złożony z różnych elementów Permutacją elementową z powtórzeniami, w której elementy powtarzają się odpowiednio razy, jest każdy -wyrazowy ciąg, w którym elementy powtarzają się podaną liczbę razy.

Liczba takich permutacji z powtórzeniami wynosi

Przykład: Przestawiając litery można otrzymać różnych napisów.

Wyjaśnienie: „Zwykłe” przestawianie liter w słowie babka spowoduje kilkukrotne powstanie identycznych wyrazów, np. zamieniając miejscami pierwszą i trzecią literę znów otrzymamy słowo babka. Należy to uwzględnić przy zliczaniu, dlatego rezultat trzeba podzielić każdorazowo przez liczbę „zbędnych” permutacji, które nie prowadzą do powstania nowych słów (ciągów uporządkowanych).

Spostrzeżenie: Można wobec tego zapisać wzór na permutację bez powtórzeń następująco: (każdy z elementów występuje dokładnie raz).

Urządzenia do wyliczania permutacji matematycznych[edytuj | edytuj kod]

Urządzeniem do wyliczania cyklicznych permutacji był wynaleziony w połowie lat trzydziestych przez polskiego matematyka i kryptologa Mariana Rejewskiego cyklometr. Służył on polskiemu wywiadowi do łamania kodów niemieckiej maszyny szyfrującej Enigma[1].

Przypisy[edytuj | edytuj kod]