Pierwiastnik

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Przejdź do nawigacji Przejdź do wyszukiwania

Pierwiastnik względem ustalonych liczb – wyrażenie algebraiczne zbudowane z tych liczb za pomocą czterech podstawowych działań arytmetycznych[a] oraz pierwiastków stopni naturalnych.

Pierwiastnikiem względem liczb oraz jest np. Wyrażenie to można zatem zapisać z użyciem skończonej ilości znaków czterech działań arytmetycznych i działania pierwiastkowania.

Definicja formalna[edytuj | edytuj kod]

Definicja (dla podciał ciała liczb zespolonych)[edytuj | edytuj kod]

Liczbę zespoloną można przedstawić za pomocą pierwiastników[1], jeśli istnieją liczby zespolone oraz liczby naturalne takie, że kładąc

(ciało liczb wymiernych), (rozszerzenie ciała o element ) dla

będziemy mieli

  • dla wszystkich oraz

Liczbę nazywa się stopniem powyższego przedstawienia.

Jeśli powyżej zastąpimy przez pewne ciało to otrzymamy definicję przedstawialności liczby w pierwiastnikach nad ciałem Jeśli to powiemy, że jest przedstawialna w pierwiastnikach względem .

Definicja 2 (ogólniejsza)[edytuj | edytuj kod]

Niech będzie ciałem o charakterystyce 0. Element jest pierwiastnikowy względem ciała (albo element a wyraża się przez pierwiastniki względem ciała ), gdy istnieje ciąg ciał oraz dla których zachodzi warunek:

  • dla ciało jest ciałem rozkładu wielomianu postaci

Zbiór elementów pierwiastnikowych względem ciała oznacza się zwykle przez i nazywa domknięciem pierwiastnikowym ciała [2].

Jeśli jest ciałem charakterystyki to powyższy warunek definicji zastępuje się następującym:

  • dla ciało jest ciałem rozkładu wielomianu postaci gdzie albo wielomianu postaci [3].

Własności[edytuj | edytuj kod]

  • Zbiór jest ciałem[4].
  • Każdy element pierwiastnikowy względem należy do [4].
  • Jeśli oraz równanie
nie ma pierwiastków wymiernych, to pierwiastki tego równania nie dają się przedstawić w pierwiastnikach kwadratowych.
  • Jeżeli i są liczbami pierwszymi, to równanie nie jest rozwiązalne w pierwiastnikach względem [5].

Znaczenie i użycie[edytuj | edytuj kod]

Pojęcie pierwiastnika odegrało ważną rolę w badaniach (między innymi Abela i Galois) nad rozwiązalnością równań algebraicznych jednej zmiennej stopni wyższych niż 4. Badania te inspirowane były znanymi wzorami, wyrażającymi pierwiastki równań niskich stopni (wzory podane przez del Ferra i Tartaglię, a znane jako wzory Cardana dla równań stopnia trzeciego i wzory Ferrariego dla czwartego). Niestety, okazało się, że w ogólnym przypadku (to znaczy poza wyjątkowymi układami wartości współczynników równania) pierwiastki równań stopni piątego i wyższych nie wyrażają się przez pierwiastniki względem współczynników równania (twierdzenie Abela-Ruffiniego).

Pierwiastniki kwadratowe mają zastosowanie w geometrii. Punkt jest konstruowalny za pomocą cyrkla i linijki wtedy i tylko wtedy, gdy jest pierwiastnikiem kwadratowym nad pewnym rozszerzeniem ciała (Wantzel). G. Mohr i L. Mascheroni udowodnili, że w twierdzeniu powyższym można ograniczyć się do cyrkla, a J. Steiner wykazał, że jeśli na płaszczyźnie dany jest okrąg wraz ze środkiem, można ograniczyć się do linijki[6].

Uwagi[edytuj | edytuj kod]

  1. A więc także potęgi o wykładnikach naturalnych jako wielokrotne mnożenie.

Przypisy[edytuj | edytuj kod]

  1. Wacław Sierpiński: Zasady algebry wyższej, „Monografie Matematyczne”. Tom 11, Rozdział 13. Plik pdf jest dostępny z serwisu Biblioteka Wirtualna Nauki.
  2. Jerzy Browkin: Teoria ciał. Warszawa: PWN, 1977, s. 112.
  3. Browkin, op. cit., s. 112.
  4. a b Browkin, op. cit., s. 114.
  5. Browkin, op. cit., s. 144.
  6. Browkin, op. cit., s. 158.