Postać Jordana

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Przejdź do nawigacji Przejdź do wyszukiwania

Postać Jordana macierzy – macierz w specjalnej, prawie przekątniowej, postaci związana z daną macierzą przez przejście odpowiadające zmianie bazy. Nazwa była wprowadzona dla uhonorowania francuskiego matematyka Camille Jordana.

Postać Jordana kwadratowej macierzy A to przedstawienie

gdzie:

Żądamy, by macierz Jordana była w szczególnej postaci. Na diagonali miała klatki (zwane klatkami Jordana), czyli

Zaś każda klatka Jordana ma daną wartość własną na diagonali i liczbę 1 ponad nią.

Każdej klatce Jordana odpowiada dokładnie jeden wektor własny, ale może istnieć kilka klatek Jordana o tej samej wartości własnej.

Wymiar pojedynczej klatki jest z przedziału gdzie N to wymiar macierzy A.

Macierz Jordana to macierz trójkątna górna. Można równie dobrze umówić się, że macierze Jordana są dolnotrójkątne (jedynki są poniżej diagonali), jednak historycznie przyjęto używać macierzy górnotrójkątnych.

Rozkład Jordana[edytuj | edytuj kod]

Rozkład Jordana to przedstawienie macierzy A w postaci iloczynu trzech macierzy

przy oznaczeniach jak z początku artykułu.

Twierdzenie Jordana mówi, że nad ciałem algebraicznie domkniętym taki rozkład zawsze istnieje.

Zastosowania[edytuj | edytuj kod]

Podobieństwo[edytuj | edytuj kod]

Dwie macierze A i Bpodobne wtedy i tylko wtedy, gdy mają taką samą postać Jordana. Pokażemy implikację w jedną stronę.

co daje

Potęgowanie macierzy[edytuj | edytuj kod]

Stosunkowo łatwo jest podnosić do potęgi macierz kwadratową w postaci Jordana.

Twierdzenie[edytuj | edytuj kod]

Twierdzenie Jordana – twierdzenie algebry liniowej o istotnym znaczeniu w teorii równań różniczkowych. Sformułowane przez francuskiego matematyka Camille Jordana.

Załóżmy, że jest skończeniewymiarową przestrzenią liniową nad ciałem algebraicznie domkniętym (w szczególności, ciałem liczb zespolonych) oraz jest endomorfizmem tej przestrzeni. Wówczas istnieje baza przestrzeni w której ma macierz w postaci macierzy klatkowej

gdzie każda macierz jest postaci

Macierz nazywamy klatką Jordana. Elementy diagonalne są wartościami własnymi endomorfizmu Liczba wystąpień danej liczby na przekątnej macierzy nazywana jest krotnością wartości własnej

Zobacz też[edytuj | edytuj kod]

Przypisy[edytuj | edytuj kod]

Bibliografia[edytuj | edytuj kod]

  • Tadeusz Koźniewski: Wykłady z algebry liniowej II. Przestrzenie afiniczne i euklidesowe. Warszawa: Uniwersytet Warszawski, 2006.

Linki zewnętrzne[edytuj | edytuj kod]