Problem geometryczny Karola Borsuka

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Przejdź do nawigacji Przejdź do wyszukiwania

Problem geometryczny Karola Borsuka dotyczy dzielenia zbiorów ograniczonych w przestrzeni euklidesowej na podzbiory o mniejszych średnicach.

Nietrudno w przestrzeni euklidesowej pokryć 3-wymiarową kulę czterema podzbiorami o średnicy mniejszej od średnicy kuli. Podobnie jest z kulą n-wymiarową i podzbiorami. W roku 1933 Karol Borsuk pokazał, że podzbiorów nie wystarczy. Postawił zatem następujące pytanie ogólne, dotyczące dowolnych zbiorów w przestrzeni euklidesowej, a nie tylko kul[1]:

Czy każdy zbiór o średnicy 1, w przestrzeni euklidesowej wymiaru n, można rozbić na n+1 zbiorów o średnicach mniejszych od 1?

(Borsuk pyta o zbiorów, gdyż, jak sam pokazał na przykładzie kuli, nie wystarczy).

W roku 1945 Hugo Hadwiger opublikował swój wynik o pozytywnej odpowiedzi w szczególnym wypadku ograniczonych zbiorów wypukłych, których powierzchnia jest gładka (dopuszcza w każdym punkcie dokładnie jedną (n–1)-wymiarową płaszczyznę styczną). W roku 1971 A.S. Riesling pokazał, że hipoteza Borsuka zachodzi dla zbiorów centralnie symetrycznych, a C. A. Rogers, w tym samym roku, że dla każdego zbioru ograniczonego, który odwzorowywany jest w siebie przez symetrie n-wymiarowego sympleksu regularnego.

Pełną odpowiedź na pytanie Borsuka dla uzyskał polski matematyk Julian Perkal w 1947[2] i Anglik H.G. Eggelston w 1955[3]. Prostsze rozwiązania dla podali w 1957 pracujący w USA izraelski geometra Branko Grünbaum i Węgier Aladár Heppes. Grünbaum dowolny przestrzenny zbiór o średnicy 1 zawarł w jedenastościanie, który otrzymuje się z foremnego ośmiościanu, o przeciwległych ścianach odległych o 1, poprzez ścięcie 3 „rogów” (stąd dodatkowe 3 kwadratowe ściany, w sumie ścian). Teraz wystarczy podzielić jedenastościan. Cztery części na które można podzielić jedenastościan (a więc i dany zbiór) mają średnice nie przekraczające:

a więc mniejszą od jeden. Przypuszczenie, że średnice części dadzą się zmniejszyć do:

nie zostało potwierdzone.

J. Kahn i G. Kalai[4] pokazali w 1993, że dla wszystkich, dostatecznie dużych odpowiedź na pytanie Borsuka jest negatywna. W szczególności jest ona negatywna dla oraz dla wszystkich Z kolei Hinrichs i Richter udowodnili w roku 2003, że odpowiedź jest negatywna już dla [5].

Wynik ten został poprawiony: w 2013 Andrej Bondarenko pokazał, że odpowiedź jest negatywna dla [6], zaś Thomas Jenrich jeszcze obniżył ograniczenie do 64[7][8].

Przypisy[edytuj | edytuj kod]

  1. Karol Borsuk, Drei Sätze über die n-dimensionale euklidische Sphäre, „Fundamenta Mathematicae”, 20 (1933), s. 177–190.
  2. Julian Perkal, Sur la subdivision des ensembles en parties de diamètre inférieur, Colloq. Math. 2 (1947), s. 45.
  3. H.G. Eggleston, Covering a three-dimensional set with sets of smaller diameter, J. Lond. Math. Soc. 30 (1955), s. 11–24.
  4. J. Kahn, G. Kalai, A counterexample to Borsuk’s conjecture, „Bulletin of the American Mathematical Society29 (1993), s. 60–62.
  5. Aicke Hinrichs, Christian Richter. New Sets with Large Borsuk Numbers. „Disc. Math.”. 270, s. 137–147, 2003. Elsevier. DOI: 10.1016/S0012-365X(02)00833-6 (ang.). 
  6. Andriy Bondarenko. On Borsuk’s Conjecture for Two-Distance Sets. „Discrete & Computational Geometry”. 51 (3), s. 509–515, 2014. DOI: 10.1007/s00454-014-9579-4. arXiv:1305.2584 (ang.). 
  7. Thomas Jenrich, A 64-dimensional two-distance counterexample to Borsuk’s conjecture, „arXiv”, 2013, Bibcode2013arXiv1308.0206J, arXiv:1308.0206.
  8. Thomas Jenrich, Andries E. Brouwer. A 64-Dimensional Counterexample to Borsuk’s Conjecture. „Electronic Journal of Combinatorics”. 21 (4), s. P4.29, 2014.