Przestrzeń Foka

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Przejdź do nawigacji Przejdź do wyszukiwania

Przestrzeń Foka nad przestrzenią Hilberta przestrzeń Hilberta, która jest sumą prostą przestrzeni utworzonych z danej przestrzeni oraz jej iloczynów tensorowych itd. W zastosowaniu do opisu stanów cząstek kwantowych, ze względu na nieodróżnialność cząstek danego typu (elektronów, fotonów, atomów helu itp.) powyższe iloczyny tensorowe muszą być dodatkowo poddane symetryzacji bądź antysymetryzacji (objaśniono to w artykule). Dlatego definiuje się trzy typy przestrzeni Foka:

  • pełną przestrzeń Foka (dla cząstek odróżnialnych),
  • symetryczną (dla bozonów),
  • antysymetryczną (dla fermionów).

Wektor przestrzeni Foka prezentuje stan układu kwantowego cząstek danego typu, który w ogólności jest superpozycją stanów kwantowych układów zawierających 0, 1, 2 itd. tych cząstek. Pozwala to na algebraizację opisu zmian stanów kwantowych za pomocą operatorów kreacji i anihilacji.

W teorii prawdopodobieństwa elementy przestrzeni Foka interpretuje się jako zmienne losowe[1].

Nazwa przestrzeni pochodzi od rosyjskiego fizyka Władimira A. Foka, który jako pierwszy zdefiniował ją w roku 1932[2] dla funkcji całkowalnych z kwadratem na prostej z miarą Lebesgue’a. Ścisła matematyzacja pojęcia pochodzi od J.M. Cooka[3].

Czasami używana jest pisownia przestrzeń Focka, będąca angielską transkrypcja nazwiska W. Foka.

Symetryczny i antysymetryczny iloczyn tensorowy przestrzeni Hilberta[edytuj | edytuj kod]

Niech oraz oznacza grupę permutacji zbioru

Definicja 1.

Iloczynem tensorowym symetrycznym elementów nazywamy element przestrzeni tensorowej taki że

Definicja 2.

Iloczynem tensorowym antysymetrycznym elementów nazywamy element przestrzeni tensorowej taki że

gdzie znak permutacji (co w tym kontekście oznacza również symbol Leviego-Civity).

Definicja 3.

n-tym symetrycznym iloczynem tensorowym przestrzeni nazywamy domknięcie podprzestrzeni liniowej zawartej w przestrzeni generowanej przez wektory gdzie przebiegają całą przestrzeń

Definicja 4.

n-tym antysymetrycznym iloczynem tensorowym przestrzeni nazywamy domknięcie podprzestrzeni liniowej przestrzeni generowanej przez wektory gdzie przebiegają całą przestrzeń

Oznaczenia:

n-ty symetryczny iloczyn tensorowy przestrzeni

n-ty antysymetryczny iloczyn tensorowy przestrzeni

Iloczyny tensorowe symetryczny oraz antysymetryczny tworzą więc podprzestrzenie pełnego iloczynu tensorowego przestrzeni Hilberta.

Przestrzeń Hilberta układu n cząstek. Symetryzacja/antysymetryzacja[edytuj | edytuj kod]

Konstrukcja przestrzeni Foka przebiega następująco:

(1) Konstruuje się przestrzenie Hilberta n-cząstkowe tzn.

A. Jeżeli jest przestrzenią Hilberta wszystkich możliwych stanów pojedynczej cząstki (np. 1 elektronu, 1 fotonu, 1 atomu helu itp.), to

A. iloczyn tensorowy przestrzeni Hilberta

zawiera stany układu składającego się z dwóch cząstek tego samego typu (tj. np. 2 elektronów, 2 fotonów, 2 atomów helu itp.).

B. Analogicznie przestrzeń

zawiera stany układu cząstek tego samego typu.

C. W przypadku układów kwantowych przestrzenie są za duże, bo zawierają stany, z których tylko niektóre są stanami układów kwantowych. Mianowicie: cząstki kwantowe są nieodróżnialne i dlatego ich stany kwantowe są stanami symetrycznymi (w przypadku bozonów, np. fotonów) lub antysymetrycznymi (w przypadku fermionów, np. elektronów). Dlatego tworząc przestrzenie Hilberta dla cząstek kwantowych trzeba dodatkowo zredukować powyższe iloczyny tensorowe poprzez utworzenie symetrycznych bądź antysymetryzacji iloczynów tensorowych. Opisano to w poprzednim rozdziale.

Definicja przestrzeni Foka: pełnej, symetrycznej i antysymetrycznej[edytuj | edytuj kod]

Przestrzenią Foka pełną/symetryczną/antysymetryczną nazywa się sumę prostą iloczynów tensorowych przestrzeni Hilberta zwyczajnego/symetrycznego/antysymetrycznego, czyli

  • pełną przestrzenią Foka (inne nazwy: wolna przestrzeń Foka, przestrzeń Maxwella-Boltzmana) nad jest przestrzeń

Inne oznaczenia: bądź

  • symetryczną przestrzenią Foka (inna nazwa: bozonowa przestrzeń Foka) nad jest przestrzeń

Inne oznaczenia:

  • antysymetryczną przestrzenią Foka (inna nazwa: fermionowa przestrzeń Foka) nad jest przestrzeń

Inne oznaczenia:

Symbol sumy prostej, użyty powyżej, oznacza sumę prostą przestrzeni Hilberta. W szczególności, wszystkie zdefiniowane wyżej przestrzenie są przestrzeniami Hilberta.

W każdym z powyższych przypadków -ty składnik sumy prostej nazywany jest podprzestrzenią stanów (wektorów) układu cząstek.

Każdy element pełnej (odpowiednio, symetrycznej i antysymetrycznej) przestrzeni Foka jest postaci

(często dla skrócenia zapisu pisze się bądź ), gdzie jest elementem przestrzeni (odpowiednio, ) oraz

Wektor

(zapisywany często w postaci sumy prostej )

nazywany jest wektorem próżni (stanem próżni) i oznaczany symbolem bądź

Przestrzeń liniowa generowana przez wektory postaci gdzie przebiega zbiór liczb naturalnych, a przestrzeń tj.

jest gęstą podprzestrzenią przestrzeni Przestrzeń nazywana jest przestrzenią skończonej liczby cząstek.

Przestrzeń Foka jako wykładnicza przestrzeń Hilberta[edytuj | edytuj kod]

Dla każdego elementu przestrzeni wzór:

określa element przestrzeni nazywany wektorem wykładniczym (bądź eksponencjalnym) wektora W szczególności, wektor próżni jest wektorem eksponencjalnym

Jeżeli i należą do to

Dla dowolnego podzbioru przestrzeni symbol oznacza podprzestrzeń

W szczególności, gdy można pisać krótko Zbiór jest liniowo niezależny. Co więcej, jest gęstą podprzestrzenią przestrzeni

Przestrzeń Foka nad sumą prostą przestrzeni Hilberta

Jeżeli są przestrzeniami Hilberta, to

przy czym równość w tym przypadku rozumie się z dokładnością do izomorfizmu. Jeżeli przyjąć notację to powyższy wzór przybiera postać

co tłumaczyć może dlaczego przestrzeń Foka bywa nazywana czasem wykładniczą przestrzenią Hilberta (nazwa pojęcia wykładnicza przestrzeń Hilberta pochodzi od H. Arakiego i J.E. Woodsa[4] i została wprowadzona dla symetrycznej przestrzeni Foka w kontekście algebr Boole’a operatorów rzutu na przestrzeniach Hilberta).

Baza przestrzeni Foka[edytuj | edytuj kod]

Jeżeli jest ośrodkową przestrzenią Hilberta oraz jest jej bazą ortonormalną, to zbiory

są bazami ortonormalnymi, odpowiednio, przestrzeni i Wszystkie opisane wyżej bazy są przeliczalne, a więc (dowolnego rodzaju) przestrzeń Foka nad ośrodkową przestrzenią Hilberta jest nadal ośrodkowa.

Operatory na przestrzeni Foka[edytuj | edytuj kod]

Niech będzie ustalonym elementem przestrzeni

Operatory anihilacji i kreacji na symetrycznej przestrzeni Foka[edytuj | edytuj kod]

 Osobny artykuł: Operatory kreacji i anihilacji.

Funkcje

dane wzorami

można, zgodnie z twierdzeniem o operatorze liniowym zadanym na bazie, przedłużyć do operatorów liniowych określonych na w sposób jednoznaczny ze względu na fakt, że zbiór jest liniowo niezależny.

Podprzestrzeń jest gęsta w tak więc i są operatorami domkniętymi.

Ponadto zachodzą pomiędzy nimi następujące relacje:

[5],

przy czym inkluzję powyżej należy rozumieć w sensie zawierania wykresów operatorów.

Operatory anihilacji i kreacji definiuje się, odpowiednio, poprzez zależności

oraz

Operatory te są więc wzajemnie do siebie sprzężone. Zbiór jest ich dziedziną istotną (podobnie jak na mocy definicji), gdzie określone są one następującymi wzorami:

oraz

Innymi słowy, operator anihilacji przenosi stany z przestrzeni do cząstkowej, a operator kreacji z przestrzeni do -cząstkowej.

Maksymalną dziedziną na jakiej są one zdefiniowane (jako domkniętę operatory wzajemnie sprzężone) jest odpowiednio, dla operatora anihilacji

oraz dla operatora kreacji

[6].

Ponadto zachodą pomiędzy nimi tzw. relacje CCR i CAR (ang. canonical commutation relations i canonical anticommutation relations):

gdzie oznacza komutator operatorów, a ich antykomutator. Relacja CAR jest związana z tzw. regułą Pauliego mówiącą, iż żadne dwa fermiony nie mogą w jednej chwili występować w tym samym stanie kwantowym.

Operatory anihilacji i kreacji na symetrycznej przestrzeni Foka są operatorami nieograniczonymi. W szczególności,

W literaturze używana bywa również notacja Diraca w kontekście operatorów anihilacji – i kreacji – przy czym wektor „bra” jest elementem przestrzeni sprzężonej do

Operator liczby cząstek[edytuj | edytuj kod]

 Osobny artykuł: Operator liczby cząstek.

Operator liczby cząstek na określony jest w następujący sposób:

gdzie:

Operator liczby cząstek jest operatorem dodatnim (w szczególności, jest on operatorem samosprzężonym) na Z dodatniości wynika, że można w sposób jednoznaczny określić jego pierwiastek

Zbiór jest dziedziną istotną operatora tzn. jest domknięciem obcięcia operatora do zbioru W szczególności, dla dowolnej funkcji operator jest zdefiniowany poprzez rachunek funkcyjny dla operatorów samosprzężonych:

Przykłady[edytuj | edytuj kod]

Przestrzeń wykładnicza ciała liczb zespolonych

Dla każdej liczby naturalnej iloczyn tensorowy można w naturalny sposób utożsamić z skąd

Dla każdej liczby zespolonej wektor wykładniczy z nią stowarzyszony jest postaci

i należy do przestrzeni

Niech będzie standardowym rozkładem normalnym (Gaussa) na prostej. W przestrzeni rozważa się tzw. funkcję tworzącą, zdefiniowaną przy pomocy wielomianów Hermite’a:

gdzie jest wielomianem Hermite’a stopnia

Istnieje dokładnie jeden taki izometryczny izomorfizm że

Przestrzeń Foka nad przestrzenią funkcji całkowalnych z kwadratem na półprostej

Niech będzie standardowym procesem Wienera (ruchem Browna) z odpowiadającą mu miarą probabilistyczną na przestrzeni funkcji ciągłych Dla dowolnej funkcji zespolonej będącej elementem przestrzeni (z miarą Lebesgue’a), niech

oznacza jej całkę stochastyczną Wienera względem procesu Istnieje wówczas dokładnie jeden izometryczny izomorfizm

który spełnia warunek

Związek pomiędzy procesami gaussowskimi a przestrzenią Foka został zauważony w pracy I.E. Segala z 1959 roku[7].

Przypisy[edytuj | edytuj kod]

  1. Fock Space. W: Paul-André Meyer: Quantum Probability for Probabilists. Berlin: Springer, 1995, s. 59. ISBN 3-540-60270-4. (ang.)
  2. V. Fock. Konfigurationsraum und zweite Quantelung. „Zeitschrift für Physik”. 75 (9/10), s. 622–647, 1932. DOI: 10.1007/BF01344458. 
  3. J.M. Cook. The Mathematics of Second Quantization. „Transactions of the American Mathematical Society”. 74 (2), s. 222–245, 1953. DOI: 10.1073/pnas.37.7.417. 
  4. H. Araki, J.E. Woods. Complete Boolean algebras of type I factors. „Publications of the Research Institute for Mathematical Sciences”. 2 (2), s. 157–242, 1966. DOI: 10.2977/prims/1195195888. 
  5. Spaces and Operators. W: J. Martin Lindsay: Quantum Stochastic Analysis in Quantum Independent Increment Processes I: From Classical Probability to Quantum Stochastic Calculus (Lecture Notes in Mathematics) (v. 1). Berlin: Springer-Verlag, 2005, s. 2007. ISBN 978-3540244066. (ang.)
  6. Fock Space. W: Paul-André Meyer: Quantum Probability for Probabilists. Berlin: Springer, 1995, s. 61. ISBN 3-540-60270-4. (ang.)
  7. I.E. Segal. Les Problems Mathematiques de la Theorie Quantique des Champs. „Centre Nationale de Recherche Scientifique”, s. 57–103, 1959. Paryż. 

Bibliografia[edytuj | edytuj kod]

  • Chapter II: Observables and States in Tensor Product Of Hilbert Spaces. W: Kalyanapuram Rangachari Parthasarathy: An Introduction to Quantum Stochastic Calculus. Berlin: Springer, 1992, s. 123–134. ISBN 3-7643-2697-2. (ang.)
  • Spaces and Operators. W: J. Martin Lindsay: Quantum Stochastic Analysis in Quantum Independent Increment Processes I: From Classical Probability to Quantum Stochastic Calculus (Lecture Notes in Mathematics) (v. 1). Berlin: Springer-Verlag, 2005, s. 201–210. ISBN 978-3540244066. (ang.)
  • Hilbert Spaces. W: Michael Reed, Barry Simon: Methods of Modern Mathematical Physics, Vol. 1: Functional Analysis. Berlin: Academic Press, 1980, s. 53–54. ISBN 978-0125850506. (ang.)
  • Self-adjointness. W: Michael Reed, Barry Simon: Methods of Modern Mathematical Physics, Vol. 2: Fourier Analysis, Self-Adjointness. Academic Press, 1975, s. 207–209. ISBN 0-12-585002-6. (ang.)