Przykłady przestrzeni liniowych

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Przejdź do nawigacji Przejdź do wyszukiwania

Ten artykuł zawiera pewne przykłady przestrzeni liniowych. W artykule „przestrzeń liniowa” znajdują się definicje używanych tutaj pojęć. Zobacz też: wymiar, baza.

Notacja. będzie oznaczać dowolne ciało takie jak liczby rzeczywiste lub liczby zespolone Zobacz też: lista symboli matematycznych.

Trywialna lub zerowa przestrzeń liniowa[edytuj | edytuj kod]

Najprostszy przykład przestrzeni liniowej jest trywialny: Zawiera ona tylko wektor zerowy (zob. 3. aksjomat przestrzeni liniowej). Dodawanie wektorów i mnożenie przez skalar są trywialne. Bazą tej przestrzeni liniowej jest zbiór pusty, tak więc jest 0-wymiarową przestrzenią liniową nad Każda przestrzeń liniowa nad zawiera podprzestrzeń z nią izomorficzną.

Ciało[edytuj | edytuj kod]

Kolejnym prostym przykładem jest samo ciało Dodawanie wektorów jest po prostu dodawaniem w ciele, a mnożenie przez skalar – mnożeniem z ciała. Jedynka służy jako baza, tak więc jest 1-wymiarową przestrzenią liniową nad sobą.

Ciało jest raczej szczególną przestrzenią liniową; rzeczywiście jest najprostszym przykładem algebry przemiennej nad Dodatkowo ma tylko dwie podprzestrzenie: oraz samo

Przestrzeń współrzędnych[edytuj | edytuj kod]

 Osobny artykuł: przestrzeń współrzędnych.

Jest to prawdopodobnie najistotniejszy przykład przestrzeni liniowej. Dla dowolnej dodatniej liczby całkowitej przestrzeń wszystkich ciągów -elementowych o wartościach z stanowi -wymiarową przestrzeń liniową nad nazywaną czasami przestrzenią współrzędnych i oznaczaną Element zapisuje się

gdzie każdy Działania na zdefiniowane są wzorami:

Najczęstsze przypadki obejmują za ciało liczby rzeczywiste dając w ten sposób przestrzeń współrzędnych rzeczywistych lub liczby zespolone dając przestrzeń współrzędnych zespolonych

Kwaterniony i oktawy Cayleya (oktoniony) są odpowiednio cztero- i ośmiowymiarowymi przestrzeniami liniowymi nad liczbami rzeczywistymi.

Przestrzeń liniowa ma bazę kanoniczną:

gdzie oznacza element neutralny mnożenia w

Nieskończona przestrzeń współrzędnych[edytuj | edytuj kod]

Niech oznacza przestrzeń ciągów nieskończonych elementów z takich, że tylko skończenie wiele elementów jest różnych od zera. Oznacza to, że jeśli zapiszemy element jako

to tylko skończenie wiele jest niezerowych (czyli od pewnego momentu wszystkie współrzędne są zerem). Dodawanie i mnożenie przez skalar dane są tak jak w skończonej przestrzeni współrzędnych. Wymiar jest przeliczalnie nieskończony. Baza kanoniczna składa się z wektorów zawierających na -tej współrzędnej i zera wszędzie indziej. Ta przestrzeń liniowa jest koproduktem (lub sumą prostą) przeliczalnie wielu egzemplarzy przestrzeni liniowej

Należy zauważyć tutaj rolę warunku skończoności. Można by rozważać dowolne ciągi elementów z które również tworzą przestrzeń liniową z takimi samym działaniami, często oznaczaną – zob. niżej. Jednakże wymiar takiej przestrzeni jest nieprzeliczalnie nieskończony i nie ma oczywistego wyboru bazy. Ponieważ wymiary się różnią, nie jest izomorficzna z w zamian jest to produkt przeliczalnie wielu egzemplarzy

Warto zauważyć, że jest (izomorficzna z) przestrzenią sprzężoną ponieważ przekształcenie liniowe z w jest jednoznacznie określone przez jego wartości na elementach bazy a te wartości mogą być dowolnie wybrane. Stąd widać, że przestrzeń liniowa nie musi być izomorficzna do swojej przestrzeni sprzężonej, jeśli jest ona nieskończeniewymiarowa, w przeciwieństwie do przypadku skończeniewymiarowego.

Iloczyn przestrzeni liniowych[edytuj | edytuj kod]

Rozpoczynając od lub przeliczalnej rodziny przestrzeni liniowych nad tym samym ciałem, możemy określić iloczyn przestrzeni (przestrzeń produktową) jak wyżej.

Macierze[edytuj | edytuj kod]

Niech oznacza zbiór macierzy z elementami w Wówczas jest przestrzenią liniową nad Dodawanie wektorów jest po prostu dodawaniem macierzy, a mnożenie przez skalar jest zdefiniowane naturalnie (jako mnożenie każdego elementu przez ten sam skalar). Rolę wektora zerowego pełni macierz zerowa. Wymiar wynosi Jednym z możliwych wyborów bazy są macierze z jednym elementem jednostkowym i pozostałych elementach równych zeru.

Przestrzenie liniowe wielomianów[edytuj | edytuj kod]

Pojedyncza zmienna[edytuj | edytuj kod]

Zbiór wielomianów o współczynnikach w jest przestrzenią liniową nad oznaczaną Dodawanie wektorów i mnożenie przez skalar są określone w oczywisty sposób. Jeżeli stopień wielomianów jest nieograniczony, to wymiar jest przeliczalnie nieskończony. Jeżeli ograniczy się stopień wielomianów do ściśle mniej niż otrzymamy przestrzeń liniową o wymiarze

Jedną z możliwych baz dla jest złożona z wielomianów współrzędnymi wielomianu w tej bazie są jego współczynniki, a przekształcenie przesyłające wielomian na ciąg jego współczynników jest izomorfizmem liniowym z w nieskończoną przestrzeń współrzędnych

Wiele zmiennych[edytuj | edytuj kod]

 Osobny artykuł: pierścień wielomianów.

Zbiór wielomianów wielu zmiennych o współczynnikach w jest przestrzenią liniową nad oznaczaną gdzie oznacza liczbę współrzędnych.

Przestrzenie liniowe ciagów[edytuj | edytuj kod]

Jak wspomniano wyżej, przestrzeń liniową (nad danym ciałem) tworzą wszystkie ciągi, które od pewnego momentu są zerowe (stałe). Tę przestrzeń można ugoólniać na ciągi:

  • sumowalne (suma ich wyrazów jest skończona), oznaczane przez [potrzebny przypis]. Przykładem ciągu, który ma nieskończenie wiele wyrazów niezerowych, ale jest sumowalny, jest – ciąg odwrotności kwadratów kolejnych liczb naturalnych. Innym znanym przykładem ciągu sumowalnego jest ciąg geometryczny dla ilorazów mniejszych od jedności (). Jego sumą jest szereg geometryczny.
  • sumowalne z kwadratem (). Przykładem ciągu, który nie jest sumowalny, ale jest sumowalny z kwadratem, jest ciąg harmoniczny odwrotności kolejnych liczb naturalnych: Jego suma (szereg harmoniczny) jest nieskończona.
  • sumowalne z modułem i dowolną potęgą (Przestrzeń Lp),
  • zbieżne do zera, oznaczane przez [potrzebny przypis],
  • zbieżne, oznaczane przez [potrzebny przypis],
  • ograniczone, oznaczane przez [potrzebny przypis].

Oprócz tego w przestrzeni ciągów sumowalnych można wyróżnić podprzestrzeń ciągów z sumą równą zero[potrzebny przypis]. Przecina się ona z nieskończoną przestrzenią współrzędnych.

Przestrzenie funkcyjne[edytuj | edytuj kod]

 Osobny artykuł: przestrzeń funkcyjna.

Niech będzie dowolnym zbiorem, a dowolną przestrzenią liniową nad Przestrzeń wszystkich funkcji z w jest przestrzenią liniową nad z działaniami dodawania funkcji i mnożenia funkcji przez skalar określonymi jak następująco – dla dowolnych funkcji i dowolnego skalara

gdzie działania po prawej stronie są określone w Wektorem zerowym jest przez funkcja stała. Przestrzeń wszystkich funkcji z w jest zwykle oznaczana

Jeżeli zbiór jest skończony, a skończeniewymiarowa, to ma wymiar w pozostałych przypadkach przestrzeń jest nieskończeniewymiarowa (nieprzeliczalnie, jeśli jest nieskończony).

Wiele przestrzeni liniowych badanych w matematyce jest podprzestrzeniami pewnych przestrzeni funkcyjnych.

Uogólnione przestrzenie współrzędnych[edytuj | edytuj kod]

Niech będzie dowolnym zbiorem. Rozważmy zbiór wszystkich funkcji z w które przyjmują wartość zero poza skończoną liczbą argumentów. Przestrzeń ta jest podprzestrzenią liniową

Przestrzeń opisana wyżej jest zwykle oznaczana i nazywana jest uogólnioną przestrzenią współrzędnych z następującego powodu. Jeżeli jest zbiorem liczb od do to łatwo widać, że przestrzeń ta jest równoważna przestrzeni współrzędnych Podobnie jeżeli jest zbiorem liczb naturalnych to przestrzeń ta jest po prostu

Baza kanoniczna dla jest zbiorem funkcji określonych wzorem

Wymiar jest więc równy mocy zbioru W ten sposób możemy skonstruować przestrzeń liniową dowolnego wymiaru nad dowolnym ciałem. Co więcej, każda przestrzeń liniowa jest izomorficzna z jedną tej postaci. Każdy wybór bazy określa izomorfizm przez przesłanie bazy na bazę kanoniczną

Uogólniona przestrzeń współrzędnych może być także rozumiana jako suma prosta egzemplarzy (czyli jednej dla każdego punktu z ):

Warunek skończoności jest zawarty w definicji sumy prostej. Warto porównać to z iloczynem prostym egzemplarzy który dałby pełną przestrzeń funkcyjną

Przekształcenia liniowe[edytuj | edytuj kod]

Ważnym przykładem powstającym w kontekście samej algebry liniowej jest przestrzeń liniowa przekształceń liniowych. Niech oznacza zbiór wszystkich przekształceń liniowych z do (obie z nich są przestrzeniami liniowymi nad ). Wówczas Niech jest podprzestrzenią ponieważ jest ona zamknięta na dodawanie i mnożenie przez skalar.

Zauważmy, że może być identyfikowane z przestrzenią macierzy w naturalny sposób. Rzeczywiście, wybrawszy odpowiednie bazy w skończeniewymiarowych przestrzeniach oraz przestrzeń może być także identyfikowana z Ta identyfikacja zwykle zależy od wyboru bazy.

Funkcje ciągłe[edytuj | edytuj kod]

Jeżeli jest pewną przestrzenią topologiczną, taką jak przedział jednostkowy możemy rozważać przestrzeń wszystkich funkcji ciągłych z w Jest to podprzestrzeń liniowa ponieważ suma dowolnych dwóch funkcji ciągłych jest ciągła, a również mnożenie przez skalar jest ciągłe.

Równania różniczkowe[edytuj | edytuj kod]

Podzbiór przestrzeni wszystkich funkcji z składających się z (wystarczająco wiele razy różniczkowalnych) funkcji, które spełniają pewne równanie różniczkowe jest podprzestrzenią o ile równanie jest liniowe. Jest to spowodowane faktem, iż różniczkowanie jest działaniem liniowym, czyli gdzie apostrof oznacza operator różniczkowania.

Rozszerzenia ciała[edytuj | edytuj kod]

Przypuśćmy, że jest podciałem (por. rozszerzenie ciała). Wówczas może być uważane za przestrzeń liniową nad przy ograniczeniu mnożenia skalarów do elementów z (dodawanie wektorów jest zdefiniowane normalnie). Wymiar tej przestrzeni liniowej jest nazywany stopniem rozszerzenia. Na przykład liczby zespolone tworzą dwuwymiarową przestrzeń liniową nad liczbami rzeczywistymi Podobnie liczby rzeczywiste tworzą (nieprzeliczalnie) nieskończeniewymiarową przestrzeń liniową nad liczbami wymiernymi

Jeżeli jest przestrzenią liniową nad to może być uważana również za przestrzeń liniową nad Wymiary są związane wzorem

Na przykład uważana za przestrzeń liniową nad liczbami rzeczywistymi ma wymiar

Skończeniewymiarowe przestrzenie liniowe[edytuj | edytuj kod]

Abstrahując od trywialnego przypadku zerowymiarowej przestrzeni nad dowolnym ciałem, przestrzeń liniowa ma skończenie wiele elementów wtedy i tylko wtedy, gdy jest ciałem skończonym i przestrzeń liniowa jest skończeniewymiarowa. Stąd mamy jednoznaczne, skończone ciało o elementach. musi być tutaj potęgą liczby pierwszej ( – pierwsza). Wtedy dowolna -wymiarowa przestrzeń liniowa nad będzie mieć elementów. Liczba elementów również jest potęgą liczby pierwszej. Głównym przykładem takiej przestrzeni jest przestrzeń współrzędnych

Zobacz też[edytuj | edytuj kod]

Bibliografia[edytuj | edytuj kod]

  • H. Guściora, M. Sadowski, Repetytorium z algebry liniowej, PWN, Warszawa 1979.