Równania Eulera-Lagrange’a

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Przejdź do nawigacji Przejdź do wyszukiwania

Równania Eulera-Lagrange’a, równania Lagrange’a – równania cząstkowe drugiego rzędu, których rozwiązaniami są funkcje, dla których funkcjonał (zadany całką oznaczoną) jest stacjonarny. Stanowią podstawowe równania rachunku wariacyjnego.

Np. dla funkcjonału zależnego od funkcji jednej zmiennej i jej pierwszej pochodnej

równania Eulera-Lagrange’a przyjmują postać:

Rozwiązaniami tego równania są funkcje dla których jest stacjonarne, tj. dla funkcji niewiele odchylającej się od funkcji optymalnej wartość funkcjonału zmienia się nieznacznie. Jest to warunkiem koniecznym, żeby przyjmowało dla ekstremum.

Postać równań Eulera-Lagrange’a w ogólniejszych przypadkach (wiele funkcji, wiele zmiennych, pochodne wyższych rzędów) omówiono w dalszych rozdziałach artykułu.

Historia[edytuj | edytuj kod]

Równanie Eulera-Lagrange’a zostało wprowadzone przez Leonharda Eulera i Josepha Louisa Lagrange’a w latach 1750 podczas prac związanych z problemem tautochrony. Lagrange znalazł rozwiązanie tego problemu w 1755 i przesłał je Eulerowi. Obaj rozwijali dalej tę metodę i zastosowali ją w mechanice, co doprowadziło do sformułowania mechaniki lagranżowskiej. Dzięki ich współpracy powstał rachunek wariacyjny (nazwę tę wymyślił Euler w 1766)[1].

Zastosowania[edytuj | edytuj kod]

Równania Eulera-Lagrange’a stosuje się w rachunku wariacyjnym, na przykład szukając najkrótszej drogi (geodezyjnej), biegu promienia światła, czyli linii, dla której droga optyczna jest najkrótsza (zasada Fermata) albo do minimalizacji energii potencjalnej układu (np. krzywa łańcuchowa).

Mechanika klasyczna[edytuj | edytuj kod]

Zgodnie z zasadą Hamiltona układ fizyczny porusza się po takiej trajektorii, że działanie obliczone dla ruchu od chwili do chwili jest stacjonarne, przy czym

gdzie to czas, a to lagrangian. W mechanice klasycznej lagrangian ma postać:

gdzie:

– energia kinetyczna układu,
– energia potencjalna układu.

Aby było stacjonarne, musi spełniać równanie Eulera-Lagrange’a dla każdej zmiennej stanu

gdzie:

Wyrażenia występujące w równaniach Eulera-Lagrange’a mają swoje nazwy:

siła uogólniona (jej -ta składowa),
pęd uogólniony (jego -ta składowa).

Przykład: Maszyna Atwooda[edytuj | edytuj kod]

Maszyna Atwooda. i to odległości ciał o masach odpowiednio i od poziomu osi krążka. Do opisu układu potrzebne są dwie współrzędne stanu ( i ).

Mamy układ dwóch mas w stałym polu grawitacyjnym przewieszonych przez nieważki krążek. Linka, na której wiszą również jest nieważka i nierozciągliwa. Chcemy znaleźć równania ruchu tych mas.

Mamy:

Czyli lagrangian ma postać:

A ponieważ linka jest nierozciągliwa gdzie C jest pewną stałą związana z długością linki. Otrzymujemy lagrangian zależny tylko od jednej współrzędnej:

Składowe równania Eulera-Lagrange’a:

Z równania Eulera-Lagrange’a:

Rozwiązując względem otrzymujemy stałe przyspieszenie:

Całkując powyższe równanie dwukrotnie otrzymamy:

gdzie i to prędkość i położenie masy w chwili

Trajektorię drugiego ciała łatwo teraz wyznaczyć:

Brachistochrona[edytuj | edytuj kod]

 Osobny artykuł: Brachistochrona.

Brachistochrona to taka krzywa łącząca punkty A i B, że czas ruchu masy punktowej od punktu A do B pod wpływem siły ciężkości jest minimalny. Problem znajdowania takiej krzywej można rozwiązać przy użyciu równania Eulera-Lagrange’a. W tym przypadku szukamy takiej krzywej żeby czas był minimalny.

gdzie:

– prędkość ciała, której zależność od wynika z zasady zachowania energii,
różniczka drogi.

Podstawiając, otrzymujemy:

gdzie:

Czas ruchu będzie minimalny dla krzywej spełniającej równanie Eulera-Lagrange’a:

Rozwiązując to równanie otrzymujemy brachistochronę:

gdzie to stała zależna od warunków brzegowych, czyli od punktów A i B.

Krzywa łańcuchowa[edytuj | edytuj kod]

 Osobny artykuł: Krzywa łańcuchowa.

Równanie Eulera-Lagrange’a pozwala także wyznaczyć krzywą łańcuchową[2], która opisuje kształt doskonale nierozciągliwej i nieskończenie wiotkiej liny o niezerowej masie swobodnie zwisającej między dwoma punktami A i B w jednorodnym polu grawitacyjnym Układ mechaniczny jest w równowadze, gdy jego energia potencjalna jest minimalna. Energia potencjalna wynosi:

gdzie:

– gęstość liniowa linki,
różniczka długości krzywej.

Podstawiając, otrzymujemy:

gdzie:

Aby energia potencjalna była minimalna, musi spełniać równanie Eulera-Lagrange’a:

Rozwiązując to równanie, otrzymujemy postać krzywej łańcuchowej:

gdzie jest stałą zależną od długości liny i położenia punktów A i B.

Dowód[edytuj | edytuj kod]

Niech będzie ciągłą funkcją parametru o zadanych warunkach początkowych i końcowych:

i

Mamy daną funkcję i szukamy takich żeby było stacjonarne. Załóżmy, że jest takim rozwiązaniem.

Wprowadźmy do rozważań parametr niezależny od czasu oraz funkcję ciągłą taką, że oraz Jeżeli przyjmiemy, że to zagadnienie sprowadzi się do analizy funkcji jednej zmiennej

Gdy jest stacjonarne, to

- Twierdzenie Leibniza (o różniczkowaniu pod znakiem całki).

Korzystając ze wzoru na pochodną funkcji złożonej otrzymujemy:

Całkując drugi człon przez części mamy:

Ponieważ dla każdego więc Podobnie Wobec tego i stąd

Ponieważ warunek ten musi być spełniony dla dowolnej funkcji więc otrzymamy równanie

stanowiące warunek konieczny istnienia ekstremum funkcjonału

Uogólnienia dla kilku funkcji, kilku zmiennych, wyższych pochodnych[edytuj | edytuj kod]

Pojedyncza funkcja jednej zmiennej z wyższymi pochodnymi[edytuj | edytuj kod]

Wartość stacjonarna funkcjonału

można otrzymać z równań Eulera-Lagrange’a postaci

przy ustalonych warunkach brzegowych dla funkcji i jej pochodnych od pierwszej do (tj. dla ). Punkty brzegowe pochodnej są dowolne.

Kilka funkcji jednej zmiennej z pochodną 1-go rzędu[edytuj | edytuj kod]

Jeżeli mamy funkcje zmiennej to szukamy extremum funkcjonału

Równania Eulera-Lagrange’a mają postać

Pojedyncza funkcja kilku zmiennych z pochodną 1-go rzędu[edytuj | edytuj kod]

Jeżeli funkcja zależy od wielu zmiennych jest określona na pewnej powierzchni to

osiąga ekstremum, gdy

Dla funkcjonał jest funkcjonałem energii; ekstremum jest powierzchnią minimalną (np. bańki mydlanej).

Kilka funkcji kilku zmiennych z pochodnymi 1-go rzędu[edytuj | edytuj kod]

Jeśli trzeba wyznaczyć kilka nieznanych funkcji o wielu zmiennych, takich że

to układ równań Eulera-Lagrange’a ma postać

Pojedyncza funkcja o 2 zmiennych z wyższymi pochodnymi[edytuj | edytuj kod]

Jeżeli nieznana funkcja zależy od dwóch zmiennych oraz i jeżeli funkcjonał zależy od wyższych pochodnych funkcji – od pierwszej aż do -tej, tj.

to równanie Eulera-Lagrange’a ma postać

co można krótko zapisać w postaci

gdzie są indeksami które przebiegają od 1 do liczny zmiennych, np. tutaj przyjmują wartości od 1do 2. Sumowanie po indeksach jest takie, że tzn. nie może być sumowania tej samej pochodnej cząstkowej dwa razy – po przestawieniu kolejności zmiennych; np. pojawia się tylko jeden raz.

Kilka funkcji o kilku zmiennych z wyższymi pochodnymi[edytuj | edytuj kod]

Jeżeli jest nieznanych funkcji zależnych od zmiennych oraz funkcjonał zależy od pochodnych tych funkcji aż do -tego rzędu, tj.

gdzie są indeksami o wartościach od 1 do m (tj. do liczby zmiennych), to równania Eulera-Lagrange’a mają postać

gdzie sumowanie po indeksach jest takie, by nie powtarzać sumowania samych pochodnych cząstkowych kilka razy (podobnie jak w podrozdziale powyżej). Można to wyrazić w bardziej zwarty sposób w postaci:

Uogólnienia na rozmaitości[edytuj | edytuj kod]

Niech będzie gładką rozmaitością oraz niech oznacza przestrzeń funkcji gładkich Wtedy dla funkcjonałów w postaci

gdzie jest lagrangianem wyrażenie jest równoważne warunkowi, że dla wszystkich każdy układ w sąsiedztwie prowadzi do o równaniach:

Przypisy[edytuj | edytuj kod]

Bibliografia[edytuj | edytuj kod]