Regularyzacja Tichonowa

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Przejdź do nawigacji Przejdź do wyszukiwania

Regularyzacja Tichonowa – metoda regularyzacji zagadnień nie postawionych poprawnie opracowana niezależnie przez Andrieja Tichonowa[1] i Davida Phillipsa[2], jednak nazwana od nazwiska rosyjskiego matematyka.

Regularyzacja za pomocą parametru regularyzacyjnego[edytuj | edytuj kod]

Rozważmy układ równań typu:

gdzie to macierz układu (macierz przekształcenia), wektor niewiadomych, wektor wyjściowy. Jeśli zagadnienie to jest źle postawione (np. rozwiązanie nie istnieje, lub jest niejednoznaczne) wtedy standardowym podejściem jest rozwiązanie w sensie najmniejszych kwadratów. Oznacza to poszukiwanie minimum następującego funkcjonału [3]:

Aby poprawić właściwości funkcjonału (np. żeby wyeliminować niefizyczne oscylacje w rozwiązaniu) do powyższej postaci dodaje się człon regularyzacyjny

Wyrażenie to kwadrat długości wektora zaś to parametr regularyzacyjny zwany również współczynnikiem tłumienia.

Szukanie minimum funkcjonału oznacza rozwiązanie równania:

co daje:

i po przekształceniu:

gdzie to macierz jednostkowa.

Macierz stojąca po prawej stronie powyższego równania jest macierzą symetryczną, ponadto dzięki obecności członu jest również odwracalna. Poza tym parametr regularyzacyjny wpływa na określoność macierzy i poprawia jej uwarunkowanie. W związku z tym rozwiązanie wyjściowego równania może być wyznaczone za pomocą:

Dobór parametru regularyzacyjnego może być wykonany za pomocą tzw. metody L-curve[4].

Regularyzacja za pomocą macierzy regularyzacji[edytuj | edytuj kod]

Jeśli dana jest informacja a priori na temat wektora niewiadomych może ona zostać uwzględniona w funkcjonale w następujący sposób:

gdzie to macierz regularyzacji oraz kontroluje stopień regularyzacji.

Pochodna funkcjonału względem wektora wynosi:

Co daje:

Ponownie macierz stojąca po prawej stronie jest symetryczna i w większości przypadków odwaracalna. Postać macierzy regularyzacji zależy od rodzaju informacji, który jest wprowadzany do zagadnienia. Na przykład jeśli rozwiązaniem zagadnienia powinny być w przybliżeniu stałe wartości i-ty wiersz macierzy powinien wynosić:

Inne przykłady sformułowania macierzy w zależności od informacji, która ma być w niej zawarta można odnaleźć w literaturze[3].

Przykład[edytuj | edytuj kod]

Przykład zastosowania regularyzacji Tichonowa. Szczegóły w tekście.

Rozpatrzmy następujący przykład:

Wtedy wynosi:

Załóżmy teraz, że na podstawie i chcemy wyznaczyć Ze względu na fakt, że wyznacznik macierzy jest bliski zera i wskaźnik uwarunkowania macierzy wynosi w przybliżeniu 909460299 wyznaczenie macierzy odwrotnej może nastręczać kłopotów, dlatego rozwiązanie poszukiwane jest za pomocą metody najmniejszych kwadratów. Na wykresie obok zielonym kolorem naniesiono przykładowy wynik rozwiązania tą metodą. Widać duże odstępstwa od założonych wcześniej wartości oznaczonych za pomocą niebieskich kółek. Dodanie członu regularyzacyjnego zgodnie ze schematem przedstawionym we wcześniejszej części artykułu zdecydowanie poprawia uzyskane rozwiązanie (czerwona linia na wykresie obok). Przy czym parametr regularyzacyjny w tym przypadku wynosi Poniżej znajduje się kod źródłowy w pakiecie MATLAB z omawianym przykładem:

a = 0.00000007;% parametr regularyzacyjny
%macierz A
A=[1 2 3 4; 1 3 1 5; 1.99999999 3.99999999 6.00000001 8.0000001;7 5 3 1];
%wektor x
x = [1;2;2;1];
% wektor b
b = A*x;
% uchwyt do funkcji bez regularyzacji
fun = @(xx)(A*xx-b)*(A*xx-b)';
% uchwyt do funkcji z regularyzacją
fun2 = @(xx)(A*xx-b)*(A*xx-b)'+a*xx*xx';
%rozwiązanie metodą najmniejszych kwadratów
x1 = lsqnonlin(fun,0*x);
x2 = lsqnonlin(fun2,0*x);
hold all
plot(x,'o')
plot(x1)
plot(x2)
grid on
legend('szukane wartości','rozwiązanie bez regularyzacji',...
'rozwiązanie z regularyzacją')

Zobacz też[edytuj | edytuj kod]

Przypisy[edytuj | edytuj kod]

  1. A. N. Tikhonov, Solution of incorrectly formulated problems and the regularization method, Soviet Math. Dokl., 4 (1963), s. 1035–1038; English translation of Dokl. Akad. Nauk. SSSR, 151 (1963), s. 501–504.
  2. D. L. Phillips, A technique for the numerical solution of certain integral equations of the first kind, J. Assoc. Comput. Mach., 9 (1962), s. 84–97.
  3. a b G.R. Liu, X. Han: Computational Inverse Techniques in Nondestructive Evaluation. CRC Press, 2003. ISBN 978-0-8493-1523-7.
  4. D. Calvetti, S. Morigi, L. Reichel, F. Sgallari, Tikhonov regularization and the L-curve for large discrete ill-posed problems, Journal of Computational and Applied Mathematics, Volume 123, Issues 1–2, 1 November 2000, Pages 423-446, ISSN 0377-0427, http://dx.doi.org/10.1016/S0377-0427(00)00414-3.

Linki zewnętrzne[edytuj | edytuj kod]