Skręcanie

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Przejdź do nawigacji Przejdź do wyszukiwania

Skręcanie – w wytrzymałości materiałów stan obciążenia pręta, w którym działa na niego moment, nazywany momentem skręcającym, działający w płaszczyźnie przekroju poprzecznego pręta[1][2]. Powoduje on występowanie naprężeń ścinających w płaszczyźnie równoległej do płaszczyzny działania momentu. Skręcanie występuje w prętach, którymi najczęściej są wały. Wyróżniamy 2 podstawowe przypadki skręcania:

Skręcanie czyste
  • Skręcanie czyste[2] – w którym do ścianek poprzecznych jednorodnego i izotropowego pręta pryzmatycznego przyłożone jest obciążenie o gęstości które redukuje się do dwóch przeciwnie skierowanych momentów działających w płaszczyźnie ścianek poprzecznych. Rozwiązanie tego przypadku jest możliwe tylko w przypadku, gdy uda nam się znaleźć funkcję spaczenia ф, charakterystyczną dla danego przekroju pręta, która jest rozwiązaniem układu równań (zagadnienie Neumanna):

gdzie i są współrzędnymi wektora normalnego do pobocznicy pręta.

Skręcanie proste
  • Skręcanie proste[2] pręta, które różni się od skręcania „czystego” tym, że obciążenie zastępujemy dwójką przeciwnie skierowanych, równych co do wartości skupionych momentów skręcających. Analityczne rozwiązanie tego przypadku jest praktycznie niemożliwe, dlatego stosujemy zgodnie z zasadą de Saint-Venanta rozwiązanie zagadnienia czystego skręcania.

Rozwiązanie zagadnienia czystego skręcania[edytuj | edytuj kod]

Rozwiązanie zagadnienia liniowej teorii sprężystości w przypadku czystego skręcania jest następujące[2]:

Tensor naprężeń

Tensor odkształceń

gdzie:

moduł Kirchhoffa,
– funkcja spaczenia, charakterystyczna dla przekroju,
– jednostkowy kąt skręcenia,
– kąt skręcenia.

Wektor przemieszczeń

  • wzdłuż osi pręta
  • w kierunkach prostopadłych

Proste skręcanie[edytuj | edytuj kod]

Dla skręcania prostego[2] przyjmujemy, że jednostkowy kąt skręcenia jest równy

gdzie:

– moment bezwładności na skręcanie, wyznaczany na podstawie rozwiązania równań skręcania czystego,
moment skręcający,
Iloczyn zwany jest sztywnością na skręcanie.

Proste skręcanie pręta o przekroju kołowym[edytuj | edytuj kod]

Stan naprężeń w przekroju poprzecznym skręcanego preta i rury

Dla przekroju kołowego funkcja spaczenia ф=0.

Dla koła

gdzie – średnica przekroju, a to biegunowy moment bezwładności

gdzie

Naprężenia rozkładają się w przekrojach tak jak widać to na rysunku. Naprężenia wyrażają się wtedy wzorem:

gdzie – odległość punktu od środka przekroju.

Naprężenia maksymalne występują więc na samym brzegu przekroju i są równe

Możemy więc określić wielkość zwaną wskaźnikiem wytrzymałości przekroju na skręcanie

Stan naprężeń w przekroju cienkościennym

Dla przekrojów cienkościennych stosuje się uproszczony wzór na maksymalne naprężenia styczne. Zakłada się przy nim, że naprężenia rozkładają się równomiernie na całej grubości ścianki.

gdzie:

– minimalna grubość ścianki,
– pole obszaru ograniczonego linią środkową przekroju.

Proste skręcanie pręta o przekroju prostokątnym[edytuj | edytuj kod]

Rozkład naprężeń w przekroju prostokątnym
Rozkład naprężenia – skręcanie przekroju prostokątnego

Rzeczywiste rozwiązanie tego problemu nie jest znane, możemy posługiwać się tylko rozwiązaniami przybliżonymi. Dzieje się tak, ponieważ, w przeciwieństwie do przekroju kołowego, przekrój prostokątny ulega deplanacji. Wyprowadzono przybliżone wzory na maksymalne naprężenia styczne i jednostkowy kąt skręcenia, przy czym występują w nich współczynniki (niemający nic wspólnego z kątem skręcenia ) i zależne od stosunku dłuższego boku przekroju do krótszego (h/b). Współczynniki te zostały obliczone dla niektórych wartości h/b oraz zostały stablicowane. Niektóre wartości pokazuje tabelka:

h/b 1,0 1,5 1,75 2,0 2,5 3,0 4,0 6,0 8,0 10,0
α 0,208 0,231 0,239 0,246 0,258 0,267 0,282 0,299 0,307 0,313 0,333
β 0,141 0,196 0,214 0,229 0,249 0,263 0,281 0,299 0,307 0,313 0,333
Maksymalne naprężenia styczne – występują zawsze w połowie dłuższego boku przekroju
Jednostkowy kąt skręcenia

Warunki projektowania[edytuj | edytuj kod]

Pręty skręcane projektuje się ze względu na możliwość wystąpienia dwóch stanów niebezpiecznych:

  • graniczny stan użytkowania – skręcenie nie może przekroczyć wartości dopuszczalnej

lub gdy moment skręcający nie jest stały w całym pręcie (jest funkcją zmiennej ):

(l – długość pręta),

  • graniczny stan nośności – naprężenia nie mogą przekroczyć wytrzymałości na ścinanie

Zobacz też[edytuj | edytuj kod]

Przypisy[edytuj | edytuj kod]

  1. Andrzej Gawęcki, Podstawy mechaniki konstrukcji prętowych, Poznań: Wyd. Politechniki Poznańskiej, 1985.
  2. a b c d e Stefan Piechnik, Wytrzymałość materiałów, Warszawa-Kraków: PWN, 1980.