Tożsamość Bineta-Cauchy’ego

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Przejdź do nawigacji Przejdź do wyszukiwania

Tożsamość Bineta-Cauchy’ego – następująca równość[1]

Równanie to jest spełnione dla liczb rzeczywistych i zespolonych (lub bardziej ogólnie dla elementów pierścienia przemiennego). Nazwa tożsamości pochodzi od nazwisk francuskich matematyków Augustina-Louisa Cauchy’ego i Jacques’a Philippe’a Bineta. Jeśli i to otrzymujemy tożsamość Lagrange’a.

Dowód[edytuj | edytuj kod]

Rozpisujemy ostatnie wyrażenie,

i korzystając z przemienności mnożenia, zauważamy, że drugie i czwarte wyrażenia są takie same. Otrzymujemy więc:

co kończy dowód po wymnożeniu wyrazów o indeksie

Uogólnienie[edytuj | edytuj kod]

Ogólna postać, znana również jako wzór Cauchy’ego-Bineta, brzmi następująco: niech będzie macierzą o wymiarach a macierzą o wymiarach Jeśli jest podzbiorem -elementowym zbioru to będzie macierzą o wymiarach której kolumny są kolumnami macierzy o indeksach ze zbioru a macierzą o wymiarach której wiersze są wierszami macierzy o indeksach ze zbioru Wtedy wyznacznik iloczynu macierzy i możemy zapisać jako:

gdzie suma przebiega po wszystkich możliwych podzbiorach zbioru

Jeśli

to uzyskujemy tożsamość Bineta-Cauchy’ego.

Przypisy[edytuj | edytuj kod]

  1. Binet-Cauchy identity. W: Eric W. Weisstein: CRC concise encyclopedia of mathematics. Wyd. 2nd. CRC Press, 2003, s. 228. ISBN 1-58488-347-2.