Twierdzenie Banacha-Alaoglu

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Skocz do: nawigacja, szukaj

Twierdzenie Banacha–Alaoglu (także twierdzenie Alaoglu[1], twierdzenie Banacha–Alaoglu–Bourbakiego lub twierdzenie Alaoglu–Bourbakiego) – w analizie funkcjonalnej, twierdzenie mówiące, że domknięta kula jednostkowa w przestrzeni sprzężonej do przestrzeni unormowanej jest zwarta w *-słabej topologii, bądź ogólniej, zbiór polarny otoczenia zera przestrzeni liniowo-topologicznej jest *-słabo zwarty.

Nazwa twierdzenia honoruje polskiego matematyka Stefana Banacha, który opublikował jego szczególny przypadek (dla ośrodkowych przestrzeni unormowanych) w 1932 roku oraz kanadyjskiego matematyka Leonidasa Alaoglu, który opublikował w 1940 roku[2] pierwszy dowód przypadku ogólnego[3][4].

Twierdzenie Banacha–Alaoglu[edytuj]

Najczęściej stosowaną wersją twierdzenia Banacha-Alaoglu jest ta dotycząca zwartości kuli jednostkowej przestrzeni sprzężonej do przestrzeni unormowanej.

Dla przestrzeni unormowanych[edytuj]

Niech X będzie przestrzenią unormowaną. Wówczas kula jednostkowa w przestrzeni X*, tj. zbiór

jest zwarta w *-słabej topologii przestrzeni X*.

Wersja ta jest bezpośrednią konsekwencją następującej wersji twierdzenia dla przestrzeni liniowo-topologicznych z uwagi na to, że norma w przestrzeni sprzężonej do przestrzeni unormowanej wyraża się wzorem:

,

tj.

w sensie notacji wprowadzonej niżej.

Dla przestrzeni liniowo-topologicznych[edytuj]

Niech X będzie przestrzenią liniowo-topologiczną oraz niech U będzie otoczeniem zera w X. Wówczas zbiór

jest zwarty w *-słabej topologii X*.

Dowód[5]. Dla każdego fU°, obraz f(U) zawiera się w kole domkniętym

Każdemu funkcjonałowi fU° odpowiada zatem punkt ψ(f) przestrzeni produktowej G = DU, która jest zwarta na mocy twierdzenia Tichonowa. Ponieważ *-słaba topologia w U° jest topologią zbieżności punktowej na U, wystarczy pokazać, że zbiór punktów G odpowiadających funkcjonałom z U°, tj. zbiór ψ(U°), jest domknięty. (Istotnie, domknięty podzbiór przestrzeni zwartej jest zwarty).

Niech (fγ) będzie siecią elementów z U° o tej własności, że sieć ψ(fγ) jest zbieżna punktowo do pewnego FG. Jeżeli x, y są takimi elementami U oraz a, b są takimi skalarami, że ax + byU, to

Oznacza to, że F odpowiada funkcjonałowi f z U°, tj. F = ψ(f), co dowodzi domkniętości zbioru ψ(U°) w G.

Twierdzenie Alaoglu–Bourbakiego[edytuj]

Istnieje również następująca abstrakcyjna wersja twierdzenia, nazywana czasem twierdzeniem Alaoglu–Bourbakiego[6].

Niech (X, Y) będzie parą dualną przestrzeni liniowo-topologicznych. Wówczas każdy podzbiór Y złożony z X-równociągłych elementów jest relatywnie zwarty w topologii σ(Y, X).

Twierdzenie Banacha-Alaoglu a aksjomat wyboru[edytuj]

Przedstawiony wyżej dowód opiera się o twierdzenie Tichonowa, a więc wymaga pewnej formy aksjomatu wyboru. Halpern i Levy udowodnili[7], że na gruncie teorii ZF następujące zdania są równoważne:

W szczególności, nie można zrezygnować z pewnej formy aksjomatu wyboru w dowodzie twierdzenia Banacha-Alaoglu, ale pełna siła tego aksjomatu nie jest wymagana.

Przypisy

  1. Musielak 1989 ↓, s. 219-221.
  2. L. Alaoglu, Weak topologies of normed linear spaces, Ann. of Math. (2) 41, (1940), 252–267.
  3. Diestel 1984 ↓, s. 16.
  4. Megginson 1998 ↓, s. 229.
  5. Diestel 1984 ↓, s. 13-14.
  6. Wilansky 2013 ↓, s. 130.
  7. J. D. Halpern, A. Levy, The Boolean prime ideal theorem does not imply the axiom of choice, Axiomatic Set Theory Part 1, Proc. Symp. Pure Math. Vol. 13 (1971), 83–134.

Bibliografia[edytuj]

  1. Joseph Diestel: Sequences and series in Banach spaces. Graduate Texts in Mathematics. Springer-Verlag, 1984. ISBN 0-387-90859-5.
  2. Robert E. Megginson: An Introduction to Banach Space Theory. Springer-Verlag: New York, 1998, seria: Graduate Texts in Mathematics 183.
  3. Julian Musielak: Wstęp do analizy funkcjonalnej. Warszawa: PWN, 1989.
  4. Walter Rudin: Analiza Funkcjonalna. Warszawa: PWN, 2001.
  5. Albert Wilansky: Modern Methods in Topological Vector Spaces. Mineola, New York: Dover Publications, 2013.