Twierdzenie Dieudonnégo-Grothendiecka

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Przejdź do nawigacji Przejdź do wyszukiwania

Twierdzenie Dieudonnégo-Grothendiecka – twierdzenie charakteryzujące ograniczone miary wektorowe określone na σ-ciałach. Nazwa twierdzenia pochodzi od nazwisk matematyków: Jeana Dieudonnégo i Alexandra Grothendiecka.

Twierdzenie[edytuj | edytuj kod]

Niech będzie σ-ciałem podzbiorów pewnego zbioru będzie przestrzenią Banacha oraz niech będzie podzbiorem przestrzeni sprzężonej, którego elementy rozdzielają punkty w Jeżeli jest taką funkcją rzeczywistą na że dla każdego złożenie jest ograniczoną i skończenie addytywną funkcją zbiorów, to jest miarą wektorową o ograniczonym półwahaniu.

Dowód[edytuj | edytuj kod]

Z założenia, że funkcjonały w rozdzielają punkty w wynika, że jest miarą wektorową. By wykazać, że jest ograniczona, używając twierdzenia Nikodyma o ograniczoności, wystarczy udowodnić, że dla każdego funkcjonału złożenie jest ograniczoną funkcją zbiorów. Niech

gdzie oznacza wahanie miary. Zbiór jest podprzestrzenią liniową przestrzeni Z założenia, a więc podprzestrzeń jest gęsta w w *-słabej topologii. Na mocy twierdzenia Krejna-Szmuljana wystarczy pokazać, że zbiór

jest *-słabo domknięty, gdyż wówczas cała przestrzeń będzie taka, a ponieważ jest ona *-słabo gęsta,

Niech Wówczas

Z twierdzenia Nikodyma o ograniczoności wynika, że

Niech będzie siecią elementów zbioru zbieżną *-słabo do pewnego funkcjonału Wówczas Ponadto

dla wszystkich Oznacza to, że

tj. [1].

Przypisy[edytuj | edytuj kod]

  1. Diestel, Uhl 1977 ↓, s. 16–17.

Bibliografia[edytuj | edytuj kod]

  • Joe Diestel, Jerry J. Uhl: Vector Measures. Providence, Rhode Island: American Mathematical Society, 1977.