Twierdzenie Gantmachier

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
(Przekierowano z Twierdzenie Gantmacher)
Przejdź do nawigacji Przejdź do wyszukiwania

Twierdzenie Gantmachier – twierdzenie analizy funkcjonalnej, które mówi w swojej podstawowej formie, że operator ograniczony T działający pomiędzy przestrzeniami Banacha jest słabo zwarty wtedy i tylko wtedy, gdy operator do niego sprzężony T* jest słabo zwarty. Twierdzenie udowodnione zostało przez Wierę Gantmachier w 1940 roku[1].

Twierdzenie Gantmacher jest odpowiednikiem twierdzenia Schaudera o operatorze sprzężonym dla operatorów zwartych.

Twierdzenie[edytuj | edytuj kod]

Niech X i Y będą przestrzeniami Banacha oraz niech T: XY będzie ograniczonym operatorem liniowym. Wówczas[2][3]

  1. T jest słabo zwarty wtedy i tylko wtedy, gdy obraz drugiego operatora sprzężonego T**: X** → Y** jest zawarty w κY(Y), tj. kanonicznej kopii przestrzeni Y w Y**.
  2. T jest słabo zwarty wtedy i tylko wtedy, gdy operator sprzężony T*: Y* → X* jest ciągły jako operator z przestrzeni Y* z topologią *-słabą do X* ze słabą topologią.
  3. T jest słabo zwarty wtedy i tylko wtedy, gdy operator sprzężony T* jest słabo zwarty.

Przypisy[edytuj | edytuj kod]

  1. V. Gantmacher. Über schwache totalstetige Operatoren, Mat. Sb. (N.S.) 7, 1940, 301–308.
  2. Abramovich i Aliprantis 2002 ↓, s. 80.
  3. Albiac i Kalton 2005 ↓, s. 348.

Bibliografia[edytuj | edytuj kod]

  1. Yuri A. Abrmamovich, Charalambos D. Aliprantis: Problems in Operator Theory. T. 2. Providence, Rhode Island: American Mathematical Society, 2002, seria: Graduate Studies in Mathematics. ISBN 978-0-8218-2147-3.
  2. Fernando Albiac, Nigel J. Kalton: Topics in Banach Space Theory. Springer-Verlag GmbH, 2006. ISBN 978-0-387-28141-4.
  3. Robert E. Megginson: An Introduction to Banach Space Theory. Springer-Verlag: New York, 1998, s. 339-345, seria: Graduate Texts in Mathematics 183.