Twierdzenie Nikodyma o ograniczoności

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Przejdź do nawigacji Przejdź do wyszukiwania

Twierdzenie Nikodyma o ograniczoności – twierdzenie udowodnione przez Ottona Nikodyma w 1933 roku[1], które gwarantuje jednostajną ograniczoność rodziny miar wektorowych na danym σ-ciele zbiorów, o ile są one punktowo jednostajnie ograniczone.

Nikodym udowodnił pierwotnie twierdzenie dla miar przyjmujących wartości skalarne. Poniższa wersja sformułowana dla miar wektorowych pochodzi od Drewnowskiego[2].

Twierdzenie[edytuj | edytuj kod]

Niech będzie σ-ciałem podzbiorów pewnego zbioru oraz niech będzie przestrzenią Banacha. Jeżeli jest taką rodziną miar wektorowych na 𝒜 przyjmujących wartość w , że gdy dla każdego zbioru zachodzi

to

gdzie oznacza półwahanie miary [3].

Przypisy[edytuj | edytuj kod]

  1. O. Nikodym, Sur les familles bornées de fonctions parfaitement additives d’ensemble abstrait, Monatsh. Math. Phys. 40 (1933), no. 1, 418–426.
  2. L. Drewnowski, Uniform boundedness principle for finitely additive vector measures, Bull. Acad. Polon. Sci., 21 (1973), 115–118.
  3. Diestel, Uhl 1977 ↓, s. 14–16.

Bibliografia[edytuj | edytuj kod]

  1. Joe Diestel, Jerry J. Uhl: Vector Measures. Providence, Rhode Island: American Mathematical Society, 1977.