Specjalizował się w stylu dowolnym. Na igrzyskach debiutował w 1976 w Montrealu i zajął 5 miejsce wyścigu na 1500 m. Cztery lata później wywalczył trzy złote krążki w wyścigach kraulem. Swoją klasę potwierdził bijąc w Moskwie, podczas XXII Igrzysk Olimpijskich, rekord świata na dystansie 1500 m. Jako pierwszy człowiek złamał granicę 15 minut. W 1984 kraje socjalistyczne zbojkotowały igrzyska w Los Angeles, co spowodowało, że Salnikow wystartował dopiero na następnych, które odbyły się w Seulu i ponownie zwyciężył w wyścigu na 1500 metrów. Wielokrotnie stawał na podium mistrzostw świata (cztery razy złoto) i Europy.