Wyróżnik wielomianu

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
(Przekierowano z Wyróżnik)
Przejdź do nawigacji Przejdź do wyszukiwania

Wyróżnik wielomianuwyrażenie zbudowane ze współczynników danego wielomianu i mające następującą własność: jego wartość jest równa zero wtedy i tylko wtedy, gdy wielomian ma pierwiastki wielokrotne.

Definicja[edytuj | edytuj kod]

Niech będzie dowolnym ciałem (niekoniecznie liczbowym), zaś wielomianem jednej zmiennej o współczynnikach z ciała co zapisujemy Symbol oznacza pierścień wielomianów o współczynnikach z

Wyróżnik wielomianu stopnia

to

gdzie to rugownik Tak więc jest wyznacznikiem następującej macierzy Sylvestera stopnia

Zależność od pierwiastków wielomianu[edytuj | edytuj kod]

Jeśli są (z uwzględnieniem krotności) wszystkimi pierwiastkami wielomianu to wyróżnik wyraża się wzorem

gdzie iloczyn rozciąga się na wszystkie pary wskaźników takie, że

Wyróżnik jako funkcja pierwiastków wielomianu jest wielomianem symetrycznym, więc wyraża się przez współczynniki wielomianu np. jako wspomniany wyżej wyznacznik Sylvestera.

Wielomian stopnia 2 nad ciałem ma pierwiastki w wtedy i tylko wtedy, gdy jego wyróżnik jest kwadratem w ciele Jeśli jest ciałem liczb rzeczywistych, to wielomian stopnia 2 ma pierwiastki w gdy jego wyróżnik jest nieujemny. Już gdy jest ciałem liczb wymiernych, jest inaczej: trójmian ma pierwiastki wymierne, bo jego wyróżnik jest kwadratem w ciele liczb wymiernych; trójmian ma dodatni wyróżnik więc ma pierwiastki rzeczywiste, ale nie ma pierwiastków wymiernych, bo 5 nie jest kwadratem liczby wymiernej.

Już dla wielomianów stopnia 3 związek między wyróżnikiem a istnieniem pierwiastków w danym ciele jest bardziej skomplikowany, na przykład wielomian stopnia 3 nad ciałem liczb rzeczywistych ma jeden pierwiastek rzeczywisty gdy jego wyróżnik jest ujemny.

Obliczanie wyróżnika[edytuj | edytuj kod]

Wyróżnik wielomianu stopnia może być obliczony z definicji jako wyznacznik macierzy Sylvestera stopnia Jednak można go także wyrazić jako wyznacznik pewnej macierzy symetrycznej stopnia aczkolwiek o bardziej skomplikowanych wyrazach. Dowód opiera się na teorii wielomianów symetrycznych. Niżej podana jest definicja rekursyjna macierzy

Oznaczenia i definicje pomocnicze[edytuj | edytuj kod]

Oznaczmy przez macierz jednostkową stopnia Definiujemy macierze stopnia dla i Gdy oznaczymy współrzędne macierzy przez to dla zaś pozostałe współrzędne są zerami.

Przykłady

Wszystkie macierze są symetryczne.
W tym podrozdziale wielomiany stopnia będziemy zapisywali w postaci

  gdzie

Definiujemy macierze zależne od współczynników wielomianu stopnia

  dla

Przykłady

Definicja rekursyjna[edytuj | edytuj kod]

Macierze których wyznacznik jest wyróżnikiem wielomianu stopnia zdefiniowane są rekursyjnie. Niech Jeżeli już określona jest macierz to gdzie

a jest macierzą stopnia jak wyżej. Macierz (i podobnie ) zajmuje pozycję w lewym górnym narożniku, a poza wskazaną jednością, w ostatniej kolumnie i ostatnim wierszu są same zera.

Łatwo dowieść indukcyjnie, że tak zdefiniowane macierze są symetryczne.

Dowód: Dla jest to oczywiste. Załóżmy w kroku indukcyjnym, że macierz jest symetryczna. Z założenia indukcyjnego i określenia macierzy wynika, że jest symetryczna, czyli
Sprawdźmy, że macierz jest symetryczna.


Macierz jest symetryczna, bo jest sumą macierzy symetrycznych z pewnymi współczynnikami. Zatem jako różnica macierzy symetrycznych, jest symetryczna, co kończy krok indukcyjny.

Przykłady[edytuj | edytuj kod]

Przykładowe pierwsze kroki rekursji są następujące.

gdzie

Stąd

Zmieńmy teraz oznaczenia współczynników wielomianu przyjmując itd., także dla wielomianów wyższych stopni.

Otrzymaliśmy i możemy wyliczyć macierz

Licząc w ten sposób dalej dostajemy

Wyróżniki odpowiednich wielomianów są wyznacznikami tych macierzy, czyli

Wyróżnik wielomianu stopnia jest wielomianem jednorodnym stopnia zależnym od zmiennych – współczynników wielomianu.

Wyróżniki wielomianów stopni od 1 do 5[edytuj | edytuj kod]

1. Wyróżnik wielomianu stopnia 1

2. Wyróżnik wielomianu stopnia 2

3. Wyróżnik wielomianu stopnia 3

4. Wyróżnik wielomianu stopnia 4

5. Wyróżnik wielomianu stopnia 5

    W celu zwiększenia przejrzystości wyróżnik ten został umieszczony w tabeli, a jego składniki uporządkowane
    leksykograficznie (jak w zapisie poprzednich wyróżników).

Nr Znak Czynnik Jednomian Nr Znak Czynnik Jednomian Nr Znak Czynnik Jednomian
1 21 41
2 22 42
3 23 43
4 24 44
5 25 45
6 26 46
7 27 47
8 28 48
9 29 49
10 30 50
11 31 51
12 32 52
13 33 53
14 34 54
15 35 55
16 36 56
17 37 57
18 38 58
19 39 59
20 40

Inne przykłady[edytuj | edytuj kod]

  • Wyróżnikiem trójmianu jest

Zależność między wyróżnikami[edytuj | edytuj kod]

Niech będzie macierzą w której i podobnie dla W macierzy nie występuje wyraz wolny więc pozostaje ona bez zmian, zaś co wynika wprost z definicji macierzy Stąd dostajemy

Ponieważ to

Przeto

Przykład:

Wyróżnik wielomianu 4 stopnia ma 16 składników. Gdy przyjąć w nim to pozostanie tylko 5 składników, a po wyciągnięciu przed nawias, w nawiasie otrzymamy wyróżnik wielomianu 3 stopnia.

Zobacz też[edytuj | edytuj kod]