Graficzne uzasadnienie wzoru na kwadrat sumy
Wzory skróconego mnożenia – wspólna nazwa wzorów ułatwiających przechodzenie między postacią sumaryczną i iloczynową wyrażeń postaci
(
a
±
b
)
n
,
(
a
±
b
±
…
)
n
{\displaystyle (a\pm b)^{n},\ (a\pm b\pm \dots )^{n}}
oraz
a
n
±
b
n
,
{\displaystyle a^{n}\pm b^{n},}
gdzie
n
{\displaystyle n}
jest liczbą naturalną .
Wzory z zastosowaniem kwadratu liczby [ edytuj | edytuj kod ]
Kwadrat sumy:[1]
(
a
+
b
)
2
=
a
2
+
2
a
b
+
b
2
.
{\displaystyle (a+b)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2}.}
Kwadrat różnicy:[1]
(
a
−
b
)
2
=
a
2
−
2
a
b
+
b
2
.
{\displaystyle (a-b)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2}.}
Wzory te mają również wersje dla większej liczby składników, np. dla trzech:
(
a
+
b
+
c
)
2
=
a
2
+
b
2
+
c
2
+
2
a
b
+
2
a
c
+
2
b
c
,
{\displaystyle (a+b+c)^{2}=a^{2}+b^{2}+c^{2}+2ab+2ac+2bc,}
(
a
+
b
−
c
)
2
=
a
2
+
b
2
+
c
2
+
2
a
b
−
2
a
c
−
2
b
c
,
{\displaystyle (a+b-c)^{2}=a^{2}+b^{2}+c^{2}+2ab-2ac-2bc,}
(
a
−
b
+
c
)
2
=
a
2
+
b
2
+
c
2
−
2
a
b
+
2
a
c
−
2
b
c
,
{\displaystyle (a-b+c)^{2}=a^{2}+b^{2}+c^{2}-2ab+2ac-2bc,}
(
a
−
b
−
c
)
2
=
a
2
+
b
2
+
c
2
−
2
a
b
−
2
a
c
+
2
b
c
.
{\displaystyle (a-b-c)^{2}=a^{2}+b^{2}+c^{2}-2ab-2ac+2bc.}
Ogólnie można ten wzór stosować dla kwadratu dowolnej liczby składników. Różnice należy przedstawić w postaci sumy składników o przeciwnym znaku, np.
(
a
−
b
−
c
+
d
)
2
=
(
a
+
(
−
b
)
+
(
−
c
)
+
d
)
2
.
{\displaystyle (a-b-c+d)^{2}=(a+(-b)+(-c)+d)^{2}.}
Po prawej stronie wzoru skróconego mnożenia wystąpią wtedy kwadraty każdego ze składników w nawiasie oraz podwojone iloczyny każdej pary tych składników.
Dla dowolnej liczby składników:
(
∑
i
=
1
k
a
i
)
2
=
∑
i
=
1
k
∑
j
=
1
k
a
i
a
j
.
{\displaystyle \left(\sum \limits _{i=1}^{k}a_{i}\right)^{2}=\sum \limits _{i=1}^{k}\sum \limits _{j=1}^{k}a_{i}a_{j}.}
Wzory te mają także uogólnienie w przestrzeniach unitarnych , zwane tożsamością polaryzacyjną .
Różnica kwadratów:[1]
a
2
−
b
2
=
(
a
+
b
)
(
a
−
b
)
.
{\displaystyle a^{2}-b^{2}=(a+b)(a-b).}
Analogicznie zbudowana suma
a
2
+
b
2
{\displaystyle a^{2}+b^{2}}
nie rozkłada się na wielomiany rzeczywiste , można jednak rozłożyć ją na wielomiany zespolone :
a
2
+
b
2
=
(
a
+
b
i
)
(
a
−
b
i
)
,
{\displaystyle a^{2}+b^{2}=(a+bi)(a-bi),}
gdzie
i
{\displaystyle i}
to jednostka urojona .
Graficzne uzasadnienie wzoru na sześcian sumy
Sześcian sumy:[1]
(
a
+
b
)
3
=
a
3
+
3
a
2
b
+
3
a
b
2
+
b
3
.
{\displaystyle (a+b)^{3}=a^{3}+3a^{2}b+3ab^{2}+b^{3}.}
Sześcian różnicy:[1]
(
a
−
b
)
3
=
a
3
−
3
a
2
b
+
3
a
b
2
−
b
3
.
{\displaystyle (a-b)^{3}=a^{3}-3a^{2}b+3ab^{2}-b^{3}.}
Suma sześcianów:[1]
a
3
+
b
3
=
(
a
+
b
)
(
a
2
−
a
b
+
b
2
)
.
{\displaystyle a^{3}+b^{3}=(a+b)(a^{2}-ab+b^{2}).}
Różnica sześcianów:[1]
a
3
−
b
3
=
(
a
−
b
)
(
a
2
+
a
b
+
b
2
)
.
{\displaystyle a^{3}-b^{3}=(a-b)(a^{2}+ab+b^{2}).}
Tożsamość Sophie Germain :
a
4
+
4
b
4
=
(
a
2
+
2
a
b
+
2
b
2
)
(
a
2
−
2
a
b
+
2
b
2
)
.
{\displaystyle a^{4}+4b^{4}=(a^{2}+2ab+2b^{2})(a^{2}-2ab+2b^{2}).}
Różnica czwartych potęg:
a
4
−
b
4
=
(
a
−
b
)
(
a
3
+
a
2
b
+
a
b
2
+
b
3
)
.
{\displaystyle a^{4}-b^{4}=(a-b)(a^{3}+a^{2}b+ab^{2}+b^{3}).}
Suma piątych potęg:
a
5
+
b
5
=
(
a
+
b
)
(
a
4
−
a
3
b
+
a
2
b
2
−
a
b
3
+
b
4
)
.
{\displaystyle a^{5}+b^{5}=(a+b)(a^{4}-a^{3}b+a^{2}b^{2}-ab^{3}+b^{4}).}
Różnica piątych potęg:
a
5
−
b
5
=
(
a
−
b
)
(
a
4
+
a
3
b
+
a
2
b
2
+
a
b
3
+
b
4
)
.
{\displaystyle a^{5}-b^{5}=(a-b)(a^{4}+a^{3}b+a^{2}b^{2}+ab^{3}+b^{4}).}
(
a
+
b
)
n
=
∑
k
=
0
n
(
n
k
)
a
n
−
k
b
k
{\displaystyle (a+b)^{n}=\sum _{k=0}^{n}{n \choose k}a^{n-k}b^{k}}
(dwumian Newtona )
(
a
−
b
)
n
=
∑
k
=
0
n
(
−
1
)
k
(
n
k
)
a
n
−
k
b
k
{\displaystyle (a-b)^{n}=\sum _{k=0}^{n}(-1)^{k}{n \choose k}a^{n-k}b^{k}}
(
∑
i
=
1
k
a
i
)
n
=
∑
m
1
,
…
,
m
k
=
0
n
(
n
m
1
,
…
,
m
k
)
∏
i
=
1
k
a
i
m
i
,
{\displaystyle \left(\sum \limits _{i=1}^{k}a_{i}\right)^{n}=\sum \limits _{m_{1},\dots ,m_{k}=0}^{n}{n \choose m_{1},\dots ,m_{k}}\prod \limits _{i=1}^{k}a_{i}^{m_{i}},}
gdzie
(
n
m
1
,
…
,
m
k
)
=
n
!
∏
i
=
1
k
m
i
!
{\displaystyle {n \choose m_{1},\dots ,m_{k}}={\frac {n!}{\prod \limits _{i=1}^{k}m_{i}!}}}
a
n
−
b
n
=
(
a
−
b
)
(
a
n
−
1
+
a
n
−
2
b
+
a
n
−
3
b
2
+
⋯
+
a
b
n
−
2
+
b
n
−
1
)
{\displaystyle a^{n}-b^{n}=(a-b)(a^{n-1}+a^{n-2}b+a^{n-3}b^{2}+\dots +ab^{n-2}+b^{n-1})}
a
2
n
+
1
+
b
2
n
+
1
=
(
a
+
b
)
(
a
2
n
−
a
2
n
−
1
b
+
a
2
n
−
2
b
2
−
⋯
−
a
b
2
n
−
1
+
b
2
n
)
{\displaystyle a^{2n+1}+b^{2n+1}=(a+b)(a^{2n}-a^{2n-1}b+a^{2n-2}b^{2}-\dots -ab^{2n-1}+b^{2n})}
Powyższe wzory zachodzą we wszystkich pierścieniach przemiennych .