Wzory skróconego mnożenia

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Przejdź do nawigacji Przejdź do wyszukiwania
Graficzne uzasadnienie wzoru na kwadrat sumy

Wzory skróconego mnożenia – wspólna nazwa wzorów ułatwiających przechodzenie między postacią sumaryczną i iloczynową wyrażeń postaci oraz gdzie jest liczbą naturalną.

Wzory z zastosowaniem kwadratu liczby[edytuj | edytuj kod]

Kwadrat sumy:[1]

Kwadrat różnicy:[1]

Wzory te mają również wersje dla większej liczby składników, np. dla trzech:

Ogólnie można ten wzór stosować dla kwadratu dowolnej liczby składników. Różnice należy przedstawić w postaci sumy składników o przeciwnym znaku, np.

Po prawej stronie wzoru skróconego mnożenia wystąpią wtedy kwadraty każdego ze składników w nawiasie oraz podwojone iloczyny każdej pary tych składników.

Dla dowolnej liczby składników:

Wzory te mają także uogólnienie w przestrzeniach unitarnych, zwane tożsamością polaryzacyjną.

Różnica kwadratów:[1]

Analogicznie zbudowana suma nie rozkłada się na wielomiany rzeczywiste, można jednak rozłożyć ją na wielomiany zespolone:

gdzie to jednostka urojona.

Inne wykładniki[edytuj | edytuj kod]

Graficzne uzasadnienie wzoru na sześcian sumy

Sześcian sumy:[1]

Sześcian różnicy:[1]

Suma sześcianów:[1]

Różnica sześcianów:[1]

Tożsamość Sophie Germain:

Różnica czwartych potęg:

Suma piątych potęg:

Różnica piątych potęg:

Wzory ogólne[edytuj | edytuj kod]

(dwumian Newtona)
gdzie

Powyższe wzory zachodzą we wszystkich pierścieniach przemiennych.

Przypisy[edytuj | edytuj kod]

  1. a b c d e f g Wybrane wzory matematyczne, Warszawa: Centralna Komisja Egzaminacyjna, 2015, s. 3, ISBN 978-83-940902-1-0.